Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Cubo de uma diferença.
(2 a-5 b)^3

Passo 1

O enunciado pede para expandir e depois fatorar de volta a expressão do cubo de uma diferença
(2a - 5b)^3
O conteúdo é o uso da fórmula do binômio ao cubo:
(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3

Passo 2

Aplicando a fórmula com x = 2a e y = 5b, temos
(2a - 5b)^3 = (2a)^3 ;-; 3,(2a)^2,(5b);+;3,(2a),(5b)^2;-;(5b)^3

Passo 3

Agora, calculamos cada termo:
(2a)^3 = 8a^3, (2a)^2 = 4a^2;Rightarrow;-3cdot4a^2cdot5b = -60a^2b,
(5b)^2 = 25b^2;Rightarrow;3cdot2acdot25b^2 = 150ab^2, (5b)^3 = 125b^3
Substituindo, a expansão é
8a^3 ;-; 60a^2b ;+; 150ab^2 ;-; 125b^3

Passo 4

Para fatorar de volta, reconhecemos que a expressão obtida
8a^3 - 60a^2b + 150ab^2 - 125b^3
segue exatamente o padrão (x-y)^3 com x=2a e y=5b. Logo, ao fatorar, retornamos a
(2a - 5b)^3

Resposta

(a) 8a^3 - 60a^2b + 150ab^2 - 125b^3
(b) Fatorando a expansão, recuperamos (2a - 5b)^3, que é justamente a expressão inicial.

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