Calcule as integrais de linha
integralC F cdot d R ; F(x, y)=(x-2 y) i+x y j ; C: R(t)=3 cos f i+2 sen t j, 0 <= t <= 12 pi.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralCFcdot dR
onde F(x,y)=(x-2y),i+xy,j e C é dado pela parametrização
R(t)=(3cos t),i+(2sin t),j, 0<= t<= pi2
O conteúdo aqui é integral de linha de campo vetorial usando parametrização: calculamos F(R(t)), depois R'(t), fazemos o produto escalar e integramos em t.

Passo 2

Substituímos x=3cos t e y=2sin t em F:
F(R(t)) =(3cos t -2cdot 2sin t),i+(3cos tcdot 2sin t),j =(3cos t-4sin t),i+6cos tsin t,j

Passo 3

Derivamos a parametrização para obter R'(t):
R'(t)=ddtl(3cos t,,2sin tr) =(-3sin t,,2cos t)

Passo 4

Fazemos o produto escalar F(R(t))cdotR'(t):
(3cos t-4sin t)(-3sin t)+(6cos tsin t)(2cos t) =-9cos tsin t+12sin^2 t+12cos^2 tsin t
Logo a integral torna-se
integral0^pi2l(-9cos tsin t+12sin^2 t+12cos^2 tsin tr),dt

Passo 5

Separamos em duas integrais:
I1=integral0^pi2l(-9cos tsin t+12cos^2 tsin tr),dt, I2=integral0^pi212sin^2 t,dt
Para I1 usamos u=cos t, du=-sin t,dt. Temos
I1 =3integral0^pi2(4cos^2 tsin t-3cos tsin t),dt =3l[-4u^33+3u^22r]u=cos t = -tfrac12
Para I2 usamos a identidade de meia-ângulo sin^2t=tfrac12(1-cos2t):
I2 =12integral0^pi2sin^2 t,dt =12cdotpi4 =3pi

Passo 6

Somando I1 e I2 obtemos
integralCFcdot dR =I1+I2 =-tfrac12+3pi =3pi-tfrac12

Resposta

3pi - 12

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