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  1. (2.75 pontos) Escolha 3 dos 5 itens a seguir e calcule os limites.
    lim x 12^+ 3 x+14 x^2-1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite unilateral
limxto tfrac12^+3x+14x^2-1
Aqui o conteúdo é limite de função racional num ponto onde o denominador zera. Vamos usar limites de soma e produto, além de analisar o sinal do denominador ao nos aproximarmos de x=tfrac12 pela direita.

Passo 2

Separamos a fração em limites do numerador e do denominador:
limxto tfrac12^+(3x+1) =3cdot12+1 =32+1 =52,
limxto tfrac12^+(4x^2-1) =4cdotl(tfrac12r)^2-1 =4cdot14-1 =1-1 =0
Portanto, a forma é tfrac5/20, indicando crescimento sem limite.

Passo 3

Para decidir se é +infty ou -infty, avaliamos o sinal de 4x^2-1 quando x>tfrac12:
se x=tfrac12+varepsilon com varepsilon>0, então
4x^2-1=4l(tfrac12+varepsilonr)^2-1>4cdot14-1=0
Logo o denominador se aproxima de 0^+ e o numerador tende a +tfrac52. Assim a fração tende a +infty.

Resposta

limxto tfrac12^+3x+14x^2-1=+infty

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