Esta prova contém 2 página(s), incluindo esta capa, e 6 questões, formando um um total de 11 pontos. Escreva seu nome completo e justifique TODAS as suas respostas nas folhas A4.
- (2.75 pontos) Escolha 3 dos 5 itens a seguir e calcule os limites.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente estudando limites. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as propriedades das funções trigonométricas e as técnicas de cálculo de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece no numerador e no denominador quando
se aproxima de 0. Sabemos que
, então
. No denominador,
também se aproxima de 0. Isso nos dá uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos aplicar uma técnica para resolver esse limite.
Passo 3
Uma técnica útil para esse caso é usar a regra de L’Hôpital, que é aplicável quando temos limites que resultam em
ou
. A regra de L’Hôpital nos diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e, então, calcular o limite dos novos termos.
Passo 4
Vamos aplicar a regra de L’Hôpital:
Primeiro, derivamos o numerador:
Em seguida, derivamos o denominador:
Agora, o limite original se transforma em:
Passo 5
Agora, precisamos calcular
. Sabemos que
, então o limite é:
Resposta
Portanto,
.