Esta prova contém 2 página(s), incluindo esta capa, e 6 questões, formando um um total de 11 pontos. Escreva seu nome completo e justifique TODAS as suas respostas nas folhas A4.
  1. (2.75 pontos) Escolha 3 dos 5 itens a seguir e calcule os limites.
    lim x 0 1-cos (x)x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite limx 0 1 - cos(x)x. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente estudando limites. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as propriedades das funções trigonométricas e as técnicas de cálculo de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece no numerador e no denominador quando x se aproxima de 0. Sabemos que cos(0) = 1, então 1 - cos(0) = 0. No denominador, x também se aproxima de 0. Isso nos dá uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos aplicar uma técnica para resolver esse limite.

Passo 3

Uma técnica útil para esse caso é usar a regra de L’Hôpital, que é aplicável quando temos limites que resultam em 00 ou inftyinfty. A regra de L’Hôpital nos diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e, então, calcular o limite dos novos termos.

Passo 4

Vamos aplicar a regra de L’Hôpital:
Primeiro, derivamos o numerador:
ddx(1 - cos(x)) = sin(x)
Em seguida, derivamos o denominador:
ddx(x) = 1
Agora, o limite original se transforma em:
limx 0 sin(x)1

Passo 5

Agora, precisamos calcular limx 0 sin(x). Sabemos que sin(0) = 0, então o limite é:
limx 0 sin(x) = 0

Resposta

Portanto, limx 0 1 - cos(x)x = 0.

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