Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Cubo de uma diferença.
(1-5 a)^3

Passo 1

O enunciado pede que a gente trabalhe com o cubo de uma diferença, ou seja, expanda e depois refatore a expressão
(1 - 5a)^3
O conteúdo principal é o Teorema do Binômio aplicado a potências de grau 3.

Passo 2

O Teorema do Binômio para o cubo de uma soma ou diferença diz:
(x - y)^3 = x^3 - 3,x^2y + 3,x,y^2 - y^3

Passo 3

Na nossa expressão temos x = 1 e y = 5a. Substituindo na fórmula:
(1 - 5a)^3 = 1^3 - 3cdot 1^2cdot(5a) + 3cdot 1cdot(5a)^2 - (5a)^3

Passo 4

Calculando cada termo:
1^3 = 1, 3cdot1^2cdot(5a) = 15a, 3cdot(5a)^2 = 3cdot25a^2 = 75a^2, (5a)^3 = 125a^3
Logo a expansão é
(1 - 5a)^3 = 1 - 15a + 75a^2 - 125a^3

Passo 5

Agora fatoramos o polinômio resultante
P(a) = 1 - 15a + 75a^2 - 125a^3
Como sabemos pela teoria, (1 - 5a) é raiz tripla desse polinômio, isto é,
P(a) = (1 - 5a)^3

Passo 6

Comparando, vemos que a fatoração devolve exatamente a expressão original (1 - 5a)^3, confirmando que a expansão e a re-fatoração estão coerentes.

Resposta

(a) (1 - 5a)^3 = 1 - 15a + 75a^2 - 125a^3
(b) Fatorando 1 - 15a + 75a^2 - 125a^3 obtemos (1 - 5a)^3, que é exatamente a expressão dada.

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