Calcule as integrais de linha em campo escalar:
\int_{C} x y z d s; em que C consiste nos segmentos de reta de (1,1,2) a (4,4,3) e de (4,4,3) a (3,1,-1).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha em campo escalar
\int_{C} x\,y\,z\,ds
onde C é a união de dois segmentos de reta: de P_0=(1,1,2) a P_1=(4,4,3) e de P_1=(4,4,3) a P_2=(3,1,-1).
Para resolver, vamos em cada trecho parametrizar \mathbf r(t), calcular ds = \|\mathbf r'(t)\|\,dt e integrar
\int f(\mathbf r(t))\,\|\mathbf r'(t)\|\,dt.

Passo 2

No segmento 1, de P_0 a P_1, tomamos t\in[0,1] e
\mathbf r_1(t) = \bigl(1+3t,\;1+3t,\;2+t\bigr).
Então
\mathbf r_1'(t) = (3,3,1), \quad \|\mathbf r_1'(t)\| = \sqrt{3^2+3^2+1^2} = \sqrt{19},
e
f\bigl(\mathbf r_1(t)\bigr) = (1+3t)\,(1+3t)\,(2+t) = (1+3t)^2(2+t).
Logo a integral no trecho 1 é
I_1 = \int_{0}^{1}(1+3t)^2(2+t)\,\sqrt{19}\,dt.

Passo 3

Expandindo o integrando:
(1+3t)^2(2+t) = 2 +13t +24t^2 +9t^3.
Assim
I_1 = \sqrt{19}\int_{0}^{1}(2+13t+24t^2+9t^3)\,dt = \sqrt{19}\Bigl[2t + \tfrac{13}{2}t^2 + 8t^3 + \tfrac{9}{4}t^4\Bigr]_{0}^{1} = \frac{75}{4}\,\sqrt{19}.

Passo 4

No segmento 2, de P_1 a P_2, tomamos t\in[0,1] e
\mathbf r_2(t) = \bigl(4 - t,\;4 -3t,\;3 -4t\bigr).
Então
\mathbf r_2'(t) = (-1,-3,-4), \quad \|\mathbf r_2'(t)\| = \sqrt{1+9+16} = \sqrt{26},
e
f\bigl(\mathbf r_2(t)\bigr) = (4 - t)(4 -3t)(3 -4t).
Logo a integral no trecho 2 é
I_2 = \int_{0}^{1}(4 - t)(4 -3t)(3 -4t)\,\sqrt{26}\,dt.

Passo 5

Expandindo o integrando:
(4 - t)(4 -3t)(3 -4t) = 48 -112t +73t^2 -12t^3.
Logo
I_2 = \sqrt{26}\int_{0}^{1}(48-112t+73t^2-12t^3)\,dt = \sqrt{26}\Bigl[48t -56t^2 + \tfrac{73}{3}t^3 -3t^4\Bigr]_{0}^{1} = \frac{40}{3}\,\sqrt{26}.

Passo 6

Somando as duas contribuições, a integral total é
I = I_1 + I_2 = \frac{75}{4}\,\sqrt{19} \;+\;\frac{40}{3}\,\sqrt{26}.

Resposta

\frac{75}{4}\sqrt{19} \;+\;\frac{40}{3}\sqrt{26}.

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