Calcule as integrais de linha em campo vetorial:
\int_{C}\left(y^{2} x\right) d x+\left(x^{2} y\right) d y; em que C é a elipse 121 x^{2}+4 y^{2}=484.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\displaystyle \int_{C}P\,dx+Q\,dy
com
P(x,y)=y^{2}x
e
Q(x,y)=x^{2}y
sobre a elipse
121x^{2}+4y^{2}=484.
O conteúdo envolve campos vetoriais conservativos e o uso do teorema de Green ou potencial escalar.

Passo 2

Verificamos se o campo é conservativo comparando
\partial P/\partial y e \partial Q/\partial x.
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial (y^{2}x)}{\partial y} =2xy, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial (x^{2}y)}{\partial x} =2xy.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em toda a região, o campo é conservativo.

Passo 3

Para campos conservativos existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\phi_x=P e \phi_y=Q.
Integrando em x:
\phi_x = x y^2 \quad\Longrightarrow\quad \varphi(x,y)=\int x y^2\,dx =\tfrac12x^2y^2+g(y).
Derivando em y e igualando a Q:
\phi_y = x^2y + g'(y) \stackrel!=x^2y \quad\Longrightarrow\quad g'(y)=0,
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\varphi(x,y)=\tfrac12x^2y^2.

Passo 4

Em um campo conservativo a integral de linha ao longo de qualquer curva fechada C é
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\oint_{C}d\varphi =0.

Resposta

0

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