Calcule as integrais de linha de campo vetorial v ao longo dos respetivos caminhos gamma indicados:
v=(x^2-x y, y^2-x y), gamma: parábola y=x^2 entre pontos (-1,1) e (1,1)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra calcular a integral de linha da campo vetorial
vec v(x,y) = l(x^2 - xy,;y^2 - xyr)
ao longo da curva que é a parábola , indo do ponto até .
Conteúdo: integral de linha de campo vetorial usando parametrização.
O que vamos precisar:
  • Parametrizar a curva .
  • Saber que a integral de linha é .

Passo 2

Primeiro a parametrização. Como x(t)=t, y(t)=t^2, é x'(t)=1, y'(t)=2t , podemos escolher
e queremos ir de a . Quando , ; quando , .
Logo, varia de a .
E as derivadas são

Passo 3

Agora colocamos P(t)=t^2 - tcdot t^2 = t^2 - t^3, Q(t)=t^4 - tcdot t^2 = t^4 - t^3 e integral-1^1l[P(t),x'(t) + Q(t),y'(t)r],dt =integral-1^1l[(t^2 - t^3)cdot1 + (t^4 - t^3)cdot(2t)r],dt em função de .
Temos e .
Substituindo , :
A integral de linha fica

Passo 4

Simplificando o integrando:
(t^2 - t^3) + 2t,(t^4 - t^3) = t^2 - t^3 + 2t^5 - 2t^4
Então nossa integral é
integral-1^1l(t^2 - t^3 - 2t^4 + 2t^5r),dt
Repara que integral-1^1(t^2 - 2t^4),dt e são funções ímpares, então a parte .
Sobram só os termos pares e :

Passo 5

Calculemos
integral-1^1t^2,dt = 23, integral-1^1t^4,dt = 25
Logo
integral-1^1(t^2 - 2t^4),dt = 23 - 2cdot25 = 23 - 45 = 10 - 1215 = -215

Resposta

A integral de linha vale .

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