Calcule as integrais de linha de campo vetorial v ao longo dos respetivos caminhos gamma indicados:
v=(x^2+y^2) imath+(x^2-y^2) jmath+z k,
gamma: r(t)=(sen t, cos t, t), t in[0,2 pi]

Passo 1

O enunciado pede pra gente calcular a integral de linha do campo vetorial
vec v(x,y,z) = l(x^2+y^2r),vecimath ;+;l(x^2-y^2r),vecjmath;+;z,vec k
ao longo da curva
gamma:; vec r(t) = l(sin t,;cos t,;tr), tin[0,2pi]
Conteúdo principal: integrais de linha de campos vetoriais.
O que precisamos fazer:
  1. lembrar que
    ;
  2. calcular ;
  3. substituir em ;
  4. fazer produto escalar e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos achar vec r,'(t) = l(cos t,;-,sin t,;1r) .
Definição: .
Diferenciando cada componente:
Teoria rapidinha: pra calcular integral de linha, a gente precisa dessa derivada pra ter o “ ” no parâmetro .

Passo 3

Agora substitui na expressão de vec vl(vec r(t)r) = l((sin t)^2 + (cos t)^2,;(sin t)^2 - (cos t)^2,;tr) :
vec vl(vec r(t)r) = l(1,;sin^2t-cos^2t,;tr)
Mas , então
Teoria: usamos identidades trigonométricas pra simplificar.

Passo 4

Produto escalar l(1,;sin^2t-cos^2t,;tr);cdot;l(cos t,;-,sin t,;1r) = 1cdotcos t + (sin^2t-cos^2t)(-,sin t) + tcdot1 :
(sin^2t-cos^2t)(-,sin t) = -sin^3t + sin t,cos^2t = -sin^3t + sin t,(1-sin^2t) = sin t - 2sin^3t
Vamos reorganizar o segundo termo:
vec vcdotvec r,' = cos t + (sin t -2sin^3t) + t = cos t + sin t -2sin^3t + t
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Passo 5

Agora integramos de integral0^2pi l(cos t + sin t -2sin^3t + tr),dt =underbraceintegral0^2picos t,dt=0 +underbraceintegral0^2pisin t,dt=0 -2underbraceintegral0^2pisin^3t,dt=0 +underbraceintegral0^2pit,dt=tfrac12(2pi)^2 a :
Detalhes:
  • .
  • .
  • Para dá zero no ciclo completo.

Resposta

boxed2pi^2

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