Calcule as integrais de linha de campo vetorial v ao longo dos respetivos caminhos gamma indicados:
v=(x, y, x y-z), gamma: r(t)=(t^2,-t, t^2), t in[0,1]

Passo 1

Beleza, então o que o exercício pede é calcular a integral de linha do campo vetorial
integralgamma vec vcdot dvec r ;=;integralt=0^1 vec vl(vec r(t)r)cdot vec r,'(t),dt
ao longo da curva dada pela parametrização
, com de 0 a 1.
Isso cai em Cálculo vetorial: usamos a fórmula da integral de linha de um campo ao longo de uma curva paramétrica, ou seja
A gente vai precisar:
  • Derivar para achar .
  • Substituir em pra ter .
  • Fazer o produto escalar .
  • Integrar o resultado de 0 a 1.

Passo 2

Teoria rápida:
  1. Se você tem integralgamma vec vcdot dvec r = integrala^b!vec vl(vec r(t)r)cdotvec r,'(t),dt , então .
  2. A integral de linha é
A ideia é transformar tudo num único integral em .

Passo 3

Vamos achar vec r(t) = (t^2,,-t,;t^2) ;Longrightarrow; vec r,'(t) = l(2t,,-1,;2tr) .

Passo 4

Agora mandamos x = t^2, y=-t, z=t^2 ;Longrightarrow; vec vl(vec r(t)r) = l(;t^2,;-t,;t^2cdot(-t) - t^2r) = l(,t^2,,-t,;-t^3 - t^2r) dentro de :

Passo 5

Produto escalar l(t^2,,-t,;-t^3 - t^2r)cdot (2t,,-1,,2t) = t^2cdot2t ;+;(-t)cdot(-1);+;(-t^3 - t^2)cdot2t :
2t^3 + t ;-;2t^4 -2t^3 = t ;-;2t^4 (pois 2t^3-2t^3=0)
Calculemos termo a termo:

  • Somando:

Passo 6

Agora é só integrar de 0 a 1 o que achamos:
integral0^1 l(t - 2t^4r),dt = integral0^1 t,dt ;-;2integral0^1t^4,dt = [t^22]0^1 - 2[t^55]0^1 = 12 - 2cdot15 = 12 - 25 = 5-410 = 110

Resposta

A integral de linha vale .

Exercícios relacionados