Calcule as integrais de linha dadas na forma \int F_{1}(x, y, z) d x+F_{2}(x, y, z) d y+F_{3}(x, y, z) d z
\int_{\gamma} y d x-x d y+x y z^{2} d z , \gamma é a curva parametrizada por \vec{r}(t)=e^{-t} \vec{i}+e^{t} \vec{j}+t \vec{k}, 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\displaystyle \int_{\gamma} y\,dx - x\,dy + x\,y\,z^{2}\,dz
ao longo da curva \gamma parametrizada por
\vec r(t) = \bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) = \bigl(e^{-t},\,e^{t},\,t\bigr),\quad 0\le t\le1.
O conteúdo utilizado será a parametrização de curvas e a fórmula
\displaystyle \int_{\gamma}P\,dx+Q\,dy+R\,dz =\int_{a}^{b}\bigl[P(x(t),y(t),z(t))\,x'(t) +Q(x(t),y(t),z(t))\,y'(t) +R(x(t),y(t),z(t))\,z'(t)\bigr]\,dt.

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas de x(t),y(t),z(t):
x(t)=e^{-t}\implies x'(t)=-e^{-t},\quad y(t)=e^{t}\implies y'(t)=e^{t},\quad z(t)=t\implies z'(t)=1.
Em seguida, avaliamos P=y, Q=-x e R=xy\,z^{2} ao longo de \vec r(t):
P\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)=e^{t},\quad Q\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)=-e^{-t},\quad R\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)=e^{-t}\,e^{t}\,t^{2}=t^{2}.
Logo o integrando fica
P\,x'(t)+Q\,y'(t)+R\,z'(t) =e^{t}\,(-e^{-t})+(-e^{-t})\,(e^{t})+t^{2}\,(1) =-1-1+t^{2}=t^{2}-2.

Passo 3

Agora basta integrar em t de 0 a 1:
\int_{\gamma}y\,dx - x\,dy + x\,y\,z^{2}\,dz =\int_{0}^{1}\bigl(t^{2}-2\bigr)\,dt =\Bigl[\tfrac{t^{3}}{3}-2t\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac{1}{3}-2 =-\tfrac{5}{3}.

Resposta

-\tfrac{5}{3}

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