Calcule as integrais de linha dadas na forma \int F_{1}(x, y, z) d x+F_{2}(x, y, z) d y+F_{3}(x, y, z) d z
\int_{\gamma} e^{x} d x+x y d y+x y z d z , \gamma é a curva parametrizada por \vec{r}(t)=-t \vec{i}-t \vec{j}-2 t \vec{k},-1 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha da forma
\int_{\gamma}F_1\,dx+F_2\,dy+F_3\,dz
com
F_1(x,y,z)=e^{x},\quad F_2(x,y,z)=x\,y,\quad F_3(x,y,z)=x\,y\,z
ao longo da curva \gamma parametrizada por
\vec r(t)=(-t,\,-t,\,-2t),\quad -1\le t\le1.
O conteúdo necessário é o cálculo de integral de linha via parametrização: substituímos x,y,z e dx,dy,dz em termos de t e integramos de t=-1 a t=1.

Passo 2

Parametrizamos x,y,z e os diferenciais:
x(t)=-t,\quad y(t)=-t,\quad z(t)=-2t,
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dx=-dt,\quad dy=-dt,\quad dz=-2\,dt.

Passo 3

Expressamos F_1,F_2,F_3 em função de t:
F_1(t)=e^{-t},\quad F_2(t)=(-t)(-t)=t^2,\quad F_3(t)=(-t)(-t)(-2t)=-2t^3.
O integrando F_1\,dx+F_2\,dy+F_3\,dz fica
e^{-t}(-dt)+t^2(-dt)+(-2t^3)(-2\,dt) =-e^{-t}dt -t^2dt +4t^3dt.

Passo 4

Integramos de t=-1 a t=1:
\int_{-1}^{1}\bigl(-e^{-t}-t^2+4t^3\bigr)\,dt =\int_{-1}^{1}-e^{-t}dt \;+\;\int_{-1}^{1}-t^2dt\;+\;\int_{-1}^{1}4t^3dt.
Calculando cada parte:
\int_{-1}^{1}-e^{-t}dt =\bigl[e^{-t}\bigr]_{-1}^{1} =e^{-1}-e^{1},
\int_{-1}^{1}-t^2dt =-\Bigl[\tfrac{t^3}{3}\Bigr]_{-1}^{1} =-\bigl(\tfrac{1}{3}-(-\tfrac{1}{3})\bigr) =-\tfrac{2}{3},
\int_{-1}^{1}4t^3dt =\bigl[t^4\bigr]_{-1}^{1} =1-1=0.
Somando,
e^{-1}-e -\tfrac{2}{3}.

Resposta

\int_{\gamma}e^{x}dx + xy\,dy + xyz\,dz = e^{-1}-e - \tfrac{2}{3}.

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