Nos exercícios a seguir calcule \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \vec{r} onde \gamma é a curva parametrizada por \vec{r}(t).
\vec{F}=-z \vec{i}+x \vec{k} , \vec{r}=\cos (\pi-t) \vec{i}+\sin (\pi-t) \vec{k}, 0 \leq t \leq \pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}
onde temos o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=-z\,\vec{i}+x\,\vec{k}
e a curva parametrizada por
\vec{r}(t)=\cos(\pi-t)\,\vec{i}+\sin(\pi-t)\,\vec{k},\quad 0\le t\le\pi.
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial: vamos usar a definição
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{\pi}\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot\vec{r}\,'(t)\,dt.

Passo 2

Calcular a derivada da parametrização:
\frac{d}{dt}\cos(\pi-t) =\sin(\pi-t), \qquad \frac{d}{dt}\sin(\pi-t) =-\cos(\pi-t).
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\vec{r}\,'(t) =\sin(\pi-t)\,\vec{i}-\cos(\pi-t)\,\vec{k}.

Passo 3

Avaliar \vec{F} ao longo da curva, substituindo x=\cos(\pi-t), z=\sin(\pi-t):
\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr) =-z\,\vec{i}+x\,\vec{k} =-\sin(\pi-t)\,\vec{i}+\cos(\pi-t)\,\vec{k}.

Passo 4

Fazer o produto escalar
\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot\vec{r}\,'(t) =\bigl[-\sin(\pi-t)\bigr]\sin(\pi-t) +\bigl[\cos(\pi-t)\bigr]\bigl[-\cos(\pi-t)\bigr] =-\sin^2(\pi-t)-\cos^2(\pi-t) =-1.

Passo 5

Integrar de t=0 a t=\pi:
\int_{0}^{\pi}\bigl(-1\bigr)\,dt =-\int_{0}^{\pi}1\,dt =-\bigl[t\bigr]_{0}^{\pi} =-\pi.

Resposta

-\pi

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