Nos exercícios a seguir calcule \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \vec{r} onde \gamma é a curva parametrizada por \vec{r}(t).
\vec{F}=5 e^{\sin \pi x} \vec{i}-4 e^{\cos \pi x} \vec{j} , \vec{r}=\frac{1}{2} \vec{i}+2 \vec{j}-\ln (\operatorname{cosh} t) \vec{k}, 0 \leq t \leq \frac{\pi}{6}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}
onde
\vec{F}(x,y,z)=5e^{\sin(\pi x)}\,\vec{i}-4e^{\cos(\pi x)}\,\vec{j}
e a curva é dada pela parametrização
\vec{r}(t)=\tfrac12\,\vec{i}+2\,\vec{j}-\ln\bigl(\operatorname{cosh} t\bigr)\,\vec{k}, \quad 0\le t\le \tfrac{\pi}{6}.
Vamos usar a definição
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\int_{0}^{\pi/6}\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot\vec{r}\,'(t)\,dt.

Passo 2

Calcular a derivada da parametrização:
\vec{r}\,'(t) =\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac12,\,2,\,-\ln(\operatorname{cosh} t)\Bigr) =(0,\,0,\,-\operatorname{tanh} t).

Passo 3

Avaliar \vec{F} ao longo de \vec{r}(t). Note que em toda a curva x(t)=\tfrac12, então
\sin\bigl(\pi x(t)\bigr)=\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1, \quad \cos\bigl(\pi x(t)\bigr)=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.
Logo
\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr) =\bigl(5e^1,\,-4e^0,\,0\bigr) =(5e,\,-4,\,0).

Passo 4

Fazer o produto escalar
\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot\vec{r}\,'(t) =(5e,\, -4,\,0)\cdot(0,\,0,\,-\operatorname{tanh} t) =0\cdot5e+0\cdot(-4)+(-\operatorname{tanh} t)\cdot0 =0.

Passo 5

Como o integrando é zero para todo t, a integral fica
\int_{0}^{\pi/6}0\,dt=0.

Resposta

0

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