Calcule as integrais de linha dadas na forma \int F_{1}(x, y, z) d x+F_{2}(x, y, z) d y+F_{3}(x, y, z) d z
\int_{\gamma} x y d x+(x+z) d y+z^{2} d z , \gamma é a curva parametrizada por \vec{r}=(t+1) \vec{i}+(t-1) \vec{j}+t^{2} \vec{k},-1 \leq t \leq 2.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{\gamma} x y\,dx \;+\;(x+z)\,dy \;+\; z^{2}\,dz
onde a curva \gamma está dada pela parametrização
\mathbf r(t) = (x(t),y(t),z(t)) = \bigl(t+1,\;t-1,\;t^{2}\bigr), \quad -1\le t\le2.
Para resolver, vamos usar a fórmula
\int_{\gamma}F_{1}\,dx+F_{2}\,dy+F_{3}\,dz =\int_{t=-1}^{2}\bigl[F_{1}(x(t),y(t),z(t))\,x'(t) +F_{2}(x(t),y(t),z(t))\,y'(t) +F_{3}(x(t),y(t),z(t))\,z'(t)\bigr]dt.

Passo 2

Primeiro, extraímos as componentes e suas derivadas:
x(t)=t+1,\quad y(t)=t-1,\quad z(t)=t^{2},
x'(t)=1,\quad y'(t)=1,\quad z'(t)=2t.

Passo 3

Substituímos em cada termo:
F_{1}(x,y,z)=x\,y\quad\Rightarrow\quad F_{1}(t)= (t+1)(t-1)=t^{2}-1,
F_{2}(x,y,z)=x+z\quad\Rightarrow\quad F_{2}(t)= (t+1)+t^{2}=t^{2}+t+1,
F_{3}(x,y,z)=z^{2}\quad\Rightarrow\quad F_{3}(t)= (t^{2})^{2}=t^{4}.
Agora o integrando vira
F_{1}(t)\,x'(t)+F_{2}(t)\,y'(t)+F_{3}(t)\,z'(t) =(t^{2}-1)\cdot1+(t^{2}+t+1)\cdot1+t^{4}\cdot(2t) =2t^{5}+2t^{2}+t.

Passo 4

A integral de linha se reduz a
\int_{-1}^{2}\bigl(2t^{5}+2t^{2}+t\bigr)\,dt.
Uma antiderivada é
\int\bigl(2t^{5}+2t^{2}+t\bigr)dt =\frac{2t^{6}}{6}+\frac{2t^{3}}{3}+\frac{t^{2}}{2} =\frac{t^{6}}{3}+\frac{2t^{3}}{3}+\frac{t^{2}}{2}.

Passo 5

Avaliando de -1 a 2:
para t=2:
\frac{2^{6}}{3}+\frac{2\cdot2^{3}}{3}+\frac{2^{2}}{2} =\frac{64}{3}+\frac{16}{3}+2 =\frac{80}{3}+2 =\frac{80+6}{3} =\frac{86}{3},
para t=-1:
\frac{(-1)^{6}}{3}+\frac{2(-1)^{3}}{3}+\frac{(-1)^{2}}{2} =\frac{1}{3}-\frac{2}{3}+\frac{1}{2} =-\frac{1}{3}+\frac{1}{2} =\frac{-2+3}{6} =\frac{1}{6}.
Logo o valor da integral é
\frac{86}{3}-\frac{1}{6} =\frac{172-1}{6} =\frac{171}{6} =\frac{57}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{57}{2}

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