Calcule as integrais de linha:
\int_{C} x y^{4} d s, onde C é a metade direita do círculo x^{2}+y^{2}=16.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x\,y^{4}\,d s
onde C é a metade direita do círculo x^{2}+y^{2}=16. O conteúdo aqui é integral de linha de função escalar, que exige parametrização da curva e uso de d s.

Passo 2

Parametrizamos a metade direita do círculo de raio 4 por
\begin{cases} x = 4\cos t,\\\ y = 4\sin t, \end{cases} \quad t\in\bigl[-\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{\pi}{2}\bigr].

Passo 3

Calculamos
d s = \sqrt{\bigl(\tfrac{dx}{dt}\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{dy}{dt}\bigr)^{2}}\,dt = \sqrt{(-4\sin t)^{2}+(4\cos t)^{2}}\,dt =4\,dt.
Assim,
x\,y^{4}\,d s = (4\cos t)\,(4\sin t)^{4}\cdot4\,dt =4096\,\cos t\,\sin^{4}t\,dt,
e a integral fica
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}4096\cos t\,\sin^{4}t\,dt.

Passo 4

Fazendo u=\sin t implica du=\cos t\,dt. Quando t=-\tfrac{\pi}{2}, u=-1; quando t=\tfrac{\pi}{2}, u=1. Logo
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}4096\cos t\,\sin^{4}t\,dt = \int_{-1}^{1}4096\,u^{4}\,du =4096\left[\frac{u^{5}}{5}\right]_{-1}^{1} =4096\cdot\frac{2}{5} =\frac{8192}{5}.

Resposta

\frac{8192}{5}

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