Determine \vec{r}=\vec{r}(t) sabendo que
\frac{d \vec{r}}{d t}(t)=\operatorname{sen} t \vec{i}+\cos t \vec{j}+\frac{1}{t+1} \vec{k}, t \geq 0 e \vec{r}(0)=\vec{i}-\vec{j}+2 \vec{k}.

Passo 1

O enunciado nos dá a derivada do vetor posição
\frac{d\vec r}{dt}(t)=\sin t\,\vec i+\cos t\,\vec j+\frac{1}{t+1}\,\vec k,\quad t\ge0
e a condição inicial \vec r(0)=\vec i-\vec j+2\vec k.
O conteúdo é integração de cada componente do vetor para encontrar \vec r(t) e, em seguida, ajustar as constantes pela condição inicial.

Passo 2

Integramos cada componente separadamente:
\int \sin t\,dt = -\cos t + C_1,\quad \int \cos t\,dt = \sin t + C_2,\quad \int \frac{1}{t+1}\,dt = \ln(t+1) + C_3.
Assim, a forma geral de \vec r(t) é
\vec r(t) = \bigl(-\cos t + C_1\bigr)\,\vec i + \bigl(\sin t + C_2\bigr)\,\vec j + \bigl(\ln(t+1) + C_3\bigr)\,\vec k.

Passo 3

Usamos \vec r(0)=\vec i-\vec j+2\vec k. Substituindo t=0:
\vec r(0)=(-\cos0+C_1)\,\vec i+(\sin0+C_2)\,\vec j+(\ln1+C_3)\,\vec k =(-1+C_1)\,\vec i + C_2\,\vec j + C_3\,\vec k.
Igualando a \vec i-\vec j+2\vec k obtemos
-1+C_1 = 1\\ \Rightarrow\\ C_1=2,\quad C_2 = -1,\quad C_3 = 2.

Passo 4

Substituindo as constantes em \vec r(t), vem
\vec r(t)=\bigl(-\cos t + 2\bigr)\,\vec i \;+\;\bigl(\sin t - 1\bigr)\,\vec j \;+\;\bigl(\ln(t+1)+2\bigr)\,\vec k.

Resposta

\boxed{\vec r(t)=(2-\cos t)\,\vec i \;+\;(\sin t-1)\,\vec j \;+\;(\ln(t+1)+2)\,\vec k.}

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