Questão 3. (15pts) Quais das séries a seguir convergem absolutamente, quais convergem condicionalmente e quais divergem?
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3 n-1}{2 n+1}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{3n-1}{2n+1}\Bigr)^{n}.
O conteúdo principal aqui é teste da raiz para séries numéricas.

Passo 2

Lembrando o teste da raiz: se a_{n} são os termos da série, definimos
L = \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}.
Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, ela diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

No nosso caso
a_{n} = \Bigl(\frac{3n-1}{2n+1}\Bigr)^{n},
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\sqrt[n]{|a_{n}|} = \frac{3n-1}{2n+1}.

Passo 4

Calculamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{3n-1}{2n+1} = \frac{3}{2} >1.

Passo 5

Como L=\tfrac32>1, pelo teste da raiz a série diverge. Além disso, sendo a_{n}>0 não há possibilidade de convergência condicional nem absoluta.

Resposta

A série diverge.

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