Calcule as integrais de linha ointC F cdot r^prime ds pelo teorema de Stokes, no sentido horário como visto por uma pessoa de pé na origem, para as seguintes F e C. Suponha que as coordenadas cartesianas sejam dextrogiras.
F=[4 z,-2 x, 2 x], C é a intersecção de x^2+y^2=1 e z=y+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha ointCvec Fcdot dvec r usando o Teorema de Stokes. Aqui o campo é vec F=(4z,,-2x,,2x) e a curva C é a interseção do cilindro x^2+y^2=1 com o plano z=y+1. Pelo Teorema de Stokes, vamos precisar de nablatimesvec F, de uma superfície S cujo contorno seja C e do vetor normal adequado para garantir que a orientação de C seja horária vista da origem.

Passo 2

Para calcular nablatimesvec F, usamos a definição (nablatimesvec F)i=varepsilonijkpartialjFk. Em coordenadas,
nablatimesvec F=(partialpartial y(2x)-partialpartial z(-2x),;partialpartial z(4z)-partialpartial x(2x),;partialpartial x(-2x)-partialpartial y(4z))=(0,2,-2)

Passo 3

Escolhemos como superfície S o disco x^2+y^2<=1 contido no plano z=y+1. Parametrizamos
vec r(x,y)=(x,y,y+1),(x,y)in D:;x^2+y^2<=1

Passo 4

Então
vec rx=(1,0,0),vec ry=(0,1,1),vec rxtimesvec ry=(0,-1,1)

Passo 5

Esse vetor normal apontando em (0,-1,1) faz com que a orientação induzida em C seja horária quando vista da origem. Portanto, pelo Teorema de Stokes temos
ointCvec Fcdot dvec r=integral duplaS(nablatimesvec F)cdot(vec rxtimesvec ry),dA

Passo 6

Calculando o produto escalar:
(0,2,-2)cdot(0,-1,1)=-2-2=-4

Passo 7

Assim a integral de superfície vira
integral duplaD(-4),dA=-4integral duplax^2+y^2<=1dA=-4cdot(picdot1^2)=-4pi

Resposta

-4\pi

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