Calcule as integrais de linha
ds pelo teorema de Stokes, no sentido horário como visto por uma pessoa de pé na origem, para as seguintes
e
. Suponha que as coordenadas cartesianas sejam dextrogiras.
,
é a intersecção de
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
usando o Teorema de Stokes. Aqui o campo é
e a curva
é a interseção do cilindro
com o plano
. Pelo Teorema de Stokes, vamos precisar de
, de uma superfície
cujo contorno seja
e do vetor normal adequado para garantir que a orientação de
seja horária vista da origem.
Passo 2
Para calcular
, usamos a definição
. Em coordenadas,
Passo 3
Escolhemos como superfície
o disco
contido no plano
. Parametrizamos
Passo 4
Então
Passo 5
Esse vetor normal apontando em
faz com que a orientação induzida em
seja horária quando vista da origem. Portanto, pelo Teorema de Stokes temos
Passo 6
Calculando o produto escalar:
Passo 7
Assim a integral de superfície vira
Resposta
-4\pi