Um cilindro com êmbolo contém gás ideal que se expande isotermicamente, dobrando de volume.
(a) Represente no gráfico \mathrm{P} \times \mathrm{V}.
(b) Explique por que a energia interna não varia nesse processo.
(c) Calcule o trabalho realizado (em Joules) se \mathrm{P}=1 \times 10^{5} \mathrm{~Pa} e V varia de 10 L para 20 L .

Passo 1

O enunciado diz que um gás ideal no interior de um cilindro sofre uma expansão isotérmica em que o volume dobra. Vamos trabalhar com termodinâmica de gases ideais: (a) desenhar o gráfico P \times V dessa expansão, (b) justificar por que a energia interna não muda, e (c) calcular o trabalho realizado quando P_{1}=1\times10^{5}\,\mathrm{Pa} e o volume vai de V_{1}=10\,\mathrm{L} a V_{2}=20\,\mathrm{L}.

Passo 2

Para a expansão isotérmica de um gás ideal vale a lei de Boyle–Mariotte, isto é,
P\,V = \text{constante}.
No gráfico P\times V isso aparece como uma hipérbole: começas em (V_{1},P_{1}), terminas em (V_{2},P_{2}) onde P_{2} = P_{1}\,\frac{V_{1}}{V_{2}} = \tfrac{1}{2}P_{1}. A curva é suave e decrescente, sempre obedecendo P = \tfrac{\text{const}}{V}.

Passo 3

A energia interna U de um gás ideal monoatômico (ou poliatômico ideal) depende apenas da temperatura T. Num processo isotérmico, a temperatura permanece constante, logo
\Delta U = 0.
Por isso, toda energia fornecida ao gás na forma de calor sai em forma de trabalho de expansão, mas não altera U.

Passo 4

O trabalho realizado pelo gás é
W = \int_{V_{1}}^{V_{2}} P\,dV.
Como o processo é isotérmico, P = \tfrac{nRT}{V} e nRT = P_{1}V_{1}. Logo
W = nRT \int_{V_{1}}^{V_{2}}\frac{dV}{V} = P_{1}V_{1}\,\ln\!\biggl(\frac{V_{2}}{V_{1}}\biggr).
Convertendo V_{1}=10\,\mathrm{L}=10\times10^{-3}\,\mathrm{m}^{3} e V_{2}=20\,\mathrm{L}, obtemos
W = \bigl(1\times10^{5}\bigr)\times\bigl(10\times10^{-3}\bigr)\ln(2) \approx 1\,000\ln(2)\approx 693\;\mathrm{J}.

Resposta

(a) Curva hiperbólica decrescente em P\times V de (V_{1},P_{1}) a (2V_{1},P_{1}/2).
(b) Porque num gás ideal isotérmico a energia interna depende só da temperatura, que não varia, logo \Delta U=0.
(c) W \approx 693\;\mathrm{J}.

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