Calcule as integrais de linha
integralC F cdot d r onde F(x, y, z)=x i+y j+z k e C é a curva parametrizada por gamma(t)=(cos t, sin t, t), 0 <= t <= 2 pi;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCFcdot dr
onde F(x,y,z)=x,i+y,j+z,k e C é a curva dada pela parametrização
gamma(t)=(cos t,;sin t,;t), 0<= t<=2pi
Este é um problema de cálculo vetorial: usamos a parametrização da curva, substituímos em F, calculamos gamma'(t), fazemos o produto escalar F(gamma(t))cdotgamma'(t) e integramos em t.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada da parametrização:
gamma'(t)=l(-sin t,;cos t,;1r)

Passo 3

Em seguida, avaliamos o campo ao longo da curva:
Fl(gamma(t)r)=l(cos t,;sin t,;tr)
Agora fazemos o produto escalar:
F(gamma(t))cdotgamma'(t) =(cos t)(-sin t)+(sin t)(cos t)+(t)(1) =-cos t,sin t+sin t,cos t+t =t

Passo 4

Finalmente, integramos de 0 a 2pi:
integralCFcdot dr =integral0^2pit,dt =t^22|0^2pi =(2pi)^22 =2pi^2

Resposta

O valor da integral de linha é 2pi^2.

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