Calcule as integrais de linha
integralC F cdot d r onde F(x, y)=-4 x(1+x^2+y^2)^3 i+-4 y(1+x^2+y^2)^3 j e C é uma curva que vai do ponto (0,1) ao ponto (1,1);

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCFcdot dr
onde
F(x,y)=-4xl(1+x^2+y^2r)^3i+-4yl(1+x^2+y^2r)^3j
e C é qualquer curva que vai de (0,1) a (1,1).
O conteúdo aqui é reconhecer que este é um campo vetorial conservativo (ou seja, possui potencial) e usar o Teorema Fundamental das integrais de linha para campos conservativos.

Passo 2

Vamos mostrar que F é conservativo encontrando um potencial escalar g(x,y) tal que
nabla g(x,y)=F(x,y)
Observe que, definindo
g(x,y)=l(1+x^2+y^2r)^-2,
temos
partial gpartial x =-2l(1+x^2+y^2r)^-3cdot 2x =-4xl(1+x^2+y^2r)^3
e
partial gpartial y =-2l(1+x^2+y^2r)^-3cdot 2y =-4yl(1+x^2+y^2r)^3
Logo, nabla g=F e o campo é conservativo.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental das integrais de linha em campos conservativos, a integral independe do caminho e vale
integralCFcdot dr = gl(x,yr)|(0,1)^(1,1) = g(1,1)-g(0,1)

Passo 4

Calculando os valores de g nos pontos finais:
g(1,1)=l(1+1^2+1^2r)^-2=l(3r)^-2=19,
g(0,1)=l(1+0^2+1^2r)^-2=l(2r)^-2=14
Portanto,
integralCFcdot dr =19-14 =4-936 =-536

Resposta

-536

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