Resolva as equações abaixo.
x^2 y^prime=x^2-x y+y^2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
x^2,dydx=x^2-x,y+y^2,
que é uma equação homogênea de grau zero em x e y. Para resolver, vamos usar a substituição padrão para equações homogêneas:
v=yx

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x^2, escrevemos a equação na forma
dydx=1-yx+l(yxr)^2 =1-v+v^2

Passo 3

Com y=v x temos
dydx=v + x,dvdx
Substituindo em dydx=1-v+v^2 obtemos
v + x,dvdx=1-v+v^2 Longrightarrow x,dvdx=(v-1)^2

Passo 4

Separamos variáveis:
dv(v-1)^2=dxx

Passo 5

Integramos os dois lados:
integraldv(v-1)^2 =integraldxx Longrightarrow -1v-1=lnlvert xrvert + C

Passo 6

Isolando v, definimos C1=-C e obtemos
1v-1=C1-lnlvert xrvert Longrightarrow v=1+1,C1-lnlvert xrvert,

Passo 7

Voltando a y=v x,
y = x,v = x + x,C1-lnlvert xrvert,

Resposta

y(x)=x+xC-lnlvert xrvert,
onde C é uma constante arbitrária.

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