Resolva as equações abaixo.
y^prime-y-x y^2=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' - y - x,y^2 = 0
Este é um caso de equação de Bernoulli com expoente 2. Para resolvê-la, vamos reescrever na forma padrão e usar a substituição adequada.

Passo 2

Reescrevendo
dydx - y = x,y^2,
dividimos ambos os lados por y^2 (válido para yneq0) para obter
y^-2dydx - y^-1 = x

Passo 3

Definimos a nova variável
v = 1y,
então
dvdx = -,y^-2dydx
Substituindo na equação do passo anterior vem
-,dvdx - v = x Longrightarrow dvdx + v = -,x

Passo 4

A equação em v é linear:
dvdx + v = -,x
O fator integrante é e^x, pois
ddxl(v,e^xr) = -,x,e^x
Integrando ambos os lados em relação a x:
v,e^x = -!integral x,e^x,dx = -l(x,e^x - e^xr) + C = e^x(1 - x) + C
Logo
v = 1 - x + C,e^-x

Passo 5

Voltando a y, temos
y = 1v = 11 - x + C,e^-x,
que é a solução geral da equação original.

Resposta

y(x) = 11 - x + C,e^-x,
onde C é a constante de integração.

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