Questão 16. Resolver as integrais usando métodos adequados:
integral raiz16-exp (2 x) d xexp (x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral raiz16 - e^2xe^x , dx
O conteúdo principal aqui é fazer uma substituição para eliminar o e^x e transformar a raiz num formato que permita usar uma substituição trigonométrica. Vamos usar u = e^x.

Passo 2

Fazendo a substituição u = e^x, temos du = e^x,dx, ou seja dx = duu. Note que
raiz16 - e^2xe^x,dx = raiz16 - u^2u,duu = raiz16 - u^2u^2,du
Assim a integral vira
integral raiz16 - u^2u^2,du

Passo 3

Para calcular
integral raiz16 - u^2u^2,du
fazemos a substituição trigonométrica u = 4sintheta. Então
du = 4costheta,dtheta, raiz16 - u^2 = 4costheta
A integral torna-se
integral 4costheta(4sintheta)^2 cdot 4costheta,dtheta = integral 16cos^2theta16sin^2theta,dtheta = integral cot^2theta,dtheta

Passo 4

Sabendo que cot^2theta = csc^2theta - 1, temos
integral cot^2theta,dtheta = integral (csc^2theta - 1),dtheta = -cottheta - theta + C
Agora voltamos às variáveis originais:
cottheta = raiz16 - u^2u, theta = arcsin!l(tfracu4r)
Logo em termos de u:
-cottheta - theta + C = -raiz16 - u^2u - arcsin!l(tfracu4r) + C

Passo 5

Finalmente, como u = e^x, a antiderivada fica
-raiz16 - e^2xe^x - arcsin!l(tfrace^x4r) + C

Resposta

boxed integral raiz16 - e^2xe^x,dx = -raiz16 - e^2xe^x - arcsin!l(e^x4r) + C

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