Questão 16. Resolver as integrais usando métodos adequados:
integral tan ^3(x) cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral tan^3(x),cos(x),dx
que envolve manipulação de funções trigonométricas e substituição simples.

Passo 2

Reescrevemos tan^3(x) como tan^2(x),tan(x) e usamos a identidade tan^2(x)=sec^2(x)-1. Assim,
tan^3(x),cos(x) =(tan^2(x));tan(x),cos(x) =(sec^2(x)-1),tan(x),cos(x)

Passo 3

Observamos que
tan(x),cos(x) =sin(x)cos(x);cos(x) =sin(x)
Logo a integral vira
integral tan^3(x),cos(x),dx =integral (sec^2(x)-1),sin(x),dx =integral sec^2(x),sin(x),dx ;-;integral sin(x),dx

Passo 4

Calculamos cada termo separadamente:
  1. Para integral sec^2(x),sin(x),dx, escrevemos sec^2(x)=1/cos^2(x), então
integral sec^2(x),sin(x),dx =integral sin(x)cos^2(x),dx
Fazendo u=cos(x), temos du=-sin(x),dx, logo
integral sin(x)cos^2(x),dx =-integral u^-2,du =-(-1),u^-1 =1u =sec(x)
  1. Para integral sin(x),dx, sabemos que
integral sin(x),dx =-cos(x)

Passo 5

Substituindo de volta na expressão original:
integral tan^3(x),cos(x),dx =sec(x);-;(-cos(x))+C =sec(x)+cos(x)+C

Resposta

sec(x)+cos(x)+C

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