Calcule as integrais de linha
integralC F cdot d r onde F(x, y)=-4 x(1+x^2+y^2)^3 i+-4 y(1+x^2+y^2)^3 j e C é uma curva que vai do ponto (0,1) ao ponto (1,2);

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCvec Fcdot dvec r,
onde
vec F(x,y)=-4x(1+x^2+y^2)^3,i+-4y(1+x^2+y^2)^3,j
e C é qualquer curva ligando (0,1) a (1,2).
O conteúdo aqui é reconhecer que vec F é um campo conservativo (tem potencial escalar), e usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para campos conservativos.

Passo 2

Procuramos uma função escalar phi(x,y) tal que
partialphipartial x = -4x(1+x^2+y^2)^3, partialphipartial y = -4y(1+x^2+y^2)^3
Essa forma sugere que phi dependa de u=1+x^2+y^2 como u^-2.

Passo 3

Definimos
phi(x,y)=1(1+x^2+y^2)^2
Para checar, note que, com u=1+x^2+y^2,
partialphipartial x =ddx(u^-2) =-2,u^-3,partial upartial x =-2,u^-3,(2x) =-4x(1+x^2+y^2)^3,
e de modo análogo
partialphi/partial y = -4y/(1+x^2+y^2)^3. Logo nablaphi=vec F.

Passo 4

Como vec F é conservativo com potencial phi, o valor da integral independe do caminho C e vale
integralCvec Fcdot dvec r =phil(1,2r)-phil(0,1r)

Passo 5

Calculando em cada ponto:
phi(1,2) =1(1+1^2+2^2)^2 =16^2 =136, phi(0,1) =1(1+0+1)^2 =14
Logo
integralCvec Fcdot dvec r =136-14 =1-936 =-836 =-29

Resposta

-29

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