Seja F(x, y)=-y i+x jx^2+y^2
Mostre que integralC F cdot d r não é independente do caminho. Existe alguma contradição neste fato?

Passo 1

O enunciado nos dá o campo
e pede para mostrar que o integral de linha
não é independente do caminho em , e questiona se há contradição nisso. O conteúdo envolvido é o teste de campos conservativos (gradientes): sabemos que um campo é conservativo se num domínio simplesmente conexo. Vamos calcular o rotor, examinar o domínio e depois calcular um integral de linha que mostre a dependência do caminho.

Passo 2

Calculemos o rotor em coordenadas planas, ou seja
nablatimesvec F =partialpartial xl(xx^2+y^2r) -partialpartial yl(-yx^2+y^2r)
Fazendo as derivadas,
partialpartial xl(xr^2r) =r^2-2x^2r^4 =y^2-x^2(x^2+y^2)^2, partialpartial yl(-yr^2r) =-(r^2-2y^2)r^4 =y^2-x^2(x^2+y^2)^2,
logo
nablatimesvec F =y^2-x^2(x^2+y^2)^2 -y^2-x^2(x^2+y^2)^2 =0
Isso mostra que vec F é irrotacional em todo ponto onde está definida.

Passo 3

Contudo, não está definida em . O domínio efetivo é
que não é simplesmente conexo: existe um “buraco” no ponto de origem. O teorema que garante que campo irrotacional implica campo conservativo exige domínio simplesmente conexo, o que aqui falha.

Passo 4

Para mostrar dependência de caminho, calculemos o integral ao longo do círculo unitário C percorrido no sentido anti-horário, parâmetro x=cos t, y=sin t, tin[0,2pi]. Então
dvec r=( -sin t,vec i+cos t,vec j),dt, vec F(cos t,sin t) =-sin t,vec i+cos t,vec j1
O produto interno é
vec Fcdot dvec r =(-sin t)(-sin t)+(cos t)(cos t),dt =(sin^2t+cos^2t),dt =dt,
e o integral fica
integralCvec Fcdot dvec r =integral0^2pidt =2pineq 0
Para um caminho diferente que não rode em torno da origem, esse integral pode ser zero, mostrando claramente que o valor depende do caminho.

Passo 5

Concluímos que integralCvec Fcdot dvec r não é independente do caminho em D, pois fechados que “envolvem” a origem dão valor 2pi enquanto caminhos homólogos a ponto dão 0.

Passo 6

Não há contradição! Embora nablatimesvec F=0 em D, o domínio não é simplesmente conexo. O teorema de existência de potencial exige precisamente essa condição de “sem buracos”. Assim, vec F não admite potencial global único em D, e o comportamento observado é totalmente compatível com a teoria.

Resposta

O integral de linha de depende do caminho (por exemplo, ao redor da origem vale e por outro vale ), e não há contradição porque o domínio não é simplesmente conexo, invalidando a conclusão de campo conservativo mesmo com .

Exercícios relacionados