Seja
Mostre que
não é independente do caminho. Existe alguma contradição neste fato?
Mostre que
Passo 1
O enunciado nos dá o campo
e pede para mostrar que o integral de linha
não é independente do caminho em , e questiona se há contradição nisso. O conteúdo envolvido é o teste de campos conservativos (gradientes): sabemos que um campo
é conservativo se
num domínio simplesmente conexo. Vamos calcular o rotor, examinar o domínio e depois calcular um integral de linha que mostre a dependência do caminho.
Passo 2
Calculemos o rotor em coordenadas planas, ou seja
Fazendo as derivadas,
logo
Isso mostra que
é irrotacional em todo ponto onde está definida.
Passo 3
Contudo,
não está definida em
. O domínio efetivo é
que não é simplesmente conexo: existe um “buraco” no ponto de origem. O teorema que garante que campo irrotacional implica campo conservativo exige domínio simplesmente conexo, o que aqui falha.
Passo 4
Para mostrar dependência de caminho, calculemos o integral ao longo do círculo unitário
percorrido no sentido anti-horário, parâmetro
,
,
. Então
O produto interno é
e o integral fica
Para um caminho diferente que não rode em torno da origem, esse integral pode ser zero, mostrando claramente que o valor depende do caminho.
Passo 5
Concluímos que
não é independente do caminho em
, pois fechados que “envolvem” a origem dão valor
enquanto caminhos homólogos a ponto dão
.
Passo 6
Não há contradição! Embora
em
, o domínio não é simplesmente conexo. O teorema de existência de potencial exige precisamente essa condição de “sem buracos”. Assim,
não admite potencial global único em
, e o comportamento observado é totalmente compatível com a teoria.
Resposta
O integral de linha de
depende do caminho (por exemplo, ao redor da origem vale
e por outro vale
), e não há contradição porque o domínio não é simplesmente conexo, invalidando a conclusão de campo conservativo mesmo com
.