Questão 26. Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelas curvas: e y=2.
Passo 1
O enunciado pede a área da região do plano limitada pelas curvas
y = l|x^2-4r|
e
y = 2
Para resolver, precisamos: 1. Encontrar os pontos de interseção resolvendo lvert x^2-4rvert=2. 2. Escrever a função lvert x^2-4rvert de forma “piecewise” para ver em que trecho ela fica acima ou abaixo de y=2. 3. Montar os integrais da distância vertical entre as curvas em cada trecho e somar as áreas, explorando a simetria em torno de x=0.
Passo 2
Resolvendo lvert x^2 - 4 rvert = 2 temos dois casos: 1. x^2 - 4 = 2;Rightarrow;x^2 = 6;Rightarrow;x = pm raiz6. 2. x^2 - 4 = -2;Rightarrow;x^2 = 2;Rightarrow;x = pm raiz2.
Portanto, as 4 interseções são nos pontos
x = -raiz6,; -raiz2,; raiz2,; raiz6
todos com y = 2.
Passo 3
A função
Para a região entre , notamos três trechos de em que uma curva fica acima da outra:
De até , onde .
De até , onde .
De até , onde .
Passo 4
A área total é a soma das áreas verticais l|,(topo)-(base)r| em cada trecho. Por simetria em torno de x=0 basta dobrar as integrais em x>=0:
A ;=; 2integral0^raiz2l[(4 - x^2)-2r],dx ;+; 2integralraiz2^raiz6l[,2 - (x^2-4)r],dx
Dentro de [0,raiz2] a parte superior é 4-x^2 e a inferior é 2.
Dentro de [raiz2,raiz6] a parte superior é 2 e a inferior é x^2-4.