Questão 26. Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelas curvas:
y=|x^2-4| e y=2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região do plano limitada pelas curvas
y = l|x^2-4r|
e
y = 2
Para resolver, precisamos:
1. Encontrar os pontos de interseção resolvendo lvert x^2-4rvert=2.
2. Escrever a função lvert x^2-4rvert de forma “piecewise” para ver em que trecho ela fica acima ou abaixo de y=2.
3. Montar os integrais da distância vertical entre as curvas em cada trecho e somar as áreas, explorando a simetria em torno de x=0.

Passo 2

Resolvendo lvert x^2 - 4 rvert = 2 temos dois casos:
1. x^2 - 4 = 2; Rightarrow; x^2 = 6; Rightarrow; x = pm raiz6.
2. x^2 - 4 = -2; Rightarrow; x^2 = 2; Rightarrow; x = pm raiz2.
Portanto, as 4 interseções são nos pontos
x = -raiz6,; -raiz2,; raiz2,; raiz6
todos com y = 2.

Passo 3

A função
Para a região entre , notamos três trechos de em que uma curva fica acima da outra:
  • De até , onde .
  • De até , onde .
  • De até , onde .

Passo 4

A área total é a soma das áreas verticais l|,(topo)-(base)r| em cada trecho. Por simetria em torno de x=0 basta dobrar as integrais em x>=0:
A ;=; 2integral0^raiz2l[(4 - x^2)-2r],dx ;+; 2integralraiz2^raiz6l[,2 - (x^2-4)r],dx
Dentro de [0,raiz2] a parte superior é 4-x^2 e a inferior é 2.
Dentro de [raiz2,raiz6] a parte superior é 2 e a inferior é x^2-4.

Passo 5

Calculemos separadamente:
1. I1=integral0^raiz2(4-x^2-2),dx=integral0^raiz2(2-x^2),dx
I1=l[2x-tfracx^33r]0^raiz2 =2raiz2-(raiz2)^33 =2raiz2-2raiz23 =4raiz23
Logo, 2I1=tfrac8raiz23 2. I2=integralraiz2^raiz6(2 - (x^2-4)),dx =integralraiz2^raiz6(6-x^2),dx
I2=l[6x-tfracx^33r]raiz2^raiz6 =l(6raiz6-tfrac(raiz6)^33r) -l(6raiz2-tfrac(raiz2)^33r)
Como (raiz6)^3=6raiz6 e (raiz2)^3=2raiz2,
I2=(6raiz6-2raiz6)-(6raiz2-tfrac2raiz23) =4raiz6-l(tfrac16raiz23r) =4raiz6-16raiz23
Logo, 2I2=8raiz6-32raiz23

Passo 6

Somando as duas metades:
A =2I1+2I2 =8raiz23+l(8raiz6-32raiz23r) =8raiz6-24raiz23 =8l(raiz6-raiz2r)

Resposta

boxedA = 8l(raiz6-raiz2r)

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