Calcule as integrais de linha
integralC x y^2 d x+(x+y) d y ; C : a reta y=-x da origem ao ponto (1,-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que pede para calcular integralC x y^2 dx + (x + y) dy. A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, mais especificamente integrais de linha. Para resolver isso, a gente precisa entender como parametrizar a curva C e depois calcular a integral usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a curva C : ela é a reta y = -x que vai da origem (0,0) até o ponto (1,-1). Uma forma fácil de trabalhar com essa reta é parametrizá-la. Vamos definir um parâmetro t que varia de 0 a 1.
Então, podemos escrever:
x(t) = t y(t) = -t
onde t vai de 0 a 1.

Passo 3

Agora que temos a parametrização, precisamos encontrar dx e dy em termos de t . Derivando x(t) e y(t) em relação a t , temos:
dx = dxdt dt = 1 cdot dt = dt dy = dydt dt = -1 cdot dt = -dt

Passo 4

Vamos substituir tudo isso na integral original. Primeiro substituímos x e y :
x y^2 = t cdot (-t)^2 = t cdot t^2 = t^3 x + y = t + (-t) = 0
Então, a integral fica:
integral0^1 (t^3) cdot dt + integral0^1 0 cdot (-dt) = integral0^1 t^3 dt
Agora, calculamos a integral:
integral0^1 t^3 dt = [ t^44 ]0^1 = 14 - 0 = 14

Resposta

O valor da integral de linha é 14.

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