Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Quadrado de um polinômio.
(2 x-y+5)^2

Passo 1

O enunciado pede para trabalharmos com o quadrado do polinômio (2x - y + 5)^2. O conteúdo é álgebra elementar, especificamente a fórmula do quadrado da soma de três termos. Vamos usar:
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc

Passo 2

Aplicando a fórmula com a=2x, b=-y e c=5, obtemos:
(2x - y + 5)^2 = (2x)^2 + (-y)^2 + 5^2 + 2,(2x)(-y) + 2,(2x)(5) + 2,(-y)(5)
Calculando cada termo:
(2x)^2 = 4x^2, (-y)^2 = y^2, 5^2 = 25,
2,(2x)(-y) = -4xy, 2,(2x)(5) = 20x, 2,(-y)(5) = -10y
Somando tudo:
4x^2 - 4xy + y^2 + 20x - 10y + 25

Passo 3

Agora vamos fatorar o polinômio expandido. Observamos que ele é exatamente um quadrado perfeito, pois foi gerado por (2x - y + 5)^2. Logo,
4x^2 - 4xy + y^2 + 20x - 10y + 25 = (2x - y + 5)^2

Passo 4

Comparando, vemos que a fatoração recupera exatamente a expressão original. Isso confirma que a expansão e a fatoração estão corretas.

Resposta

(a) ,4x^2 - 4xy + y^2 + 20x - 10y + 25
(b) (2x - y + 5)^2.

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