Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Quadrado de um polinômio.
(x-2 y+1)^2

Passo 1

O enunciado pede para expandir e depois fatorar a expressão (x - 2y + 1)^2. O conteúdo aqui é o quadrado de um polinômio de três termos, que usa a identidade
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc

Passo 2

Identifiquemos os termos:
a = x, b = -2y, c = 1
Pela identidade temos
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc

Passo 3

Calculemos cada parcela:
a^2 = x^2, b^2 = (-2y)^2 = 4y^2, c^2 = 1^2 = 1,
2ab = 2cdot xcdot(-2y) = -4xy, 2ac = 2cdot xcdot1 = 2x, 2bc = 2cdot(-2y)cdot1 = -4y

Passo 4

Somando tudo, a expansão fica
x^2 + 4y^2 + 1 - 4xy + 2x - 4y

Passo 5

Para fatorar de volta, reconhecemos que esse polinômio é exatamente o quadrado do trinômio original, ou seja,
x^2 + 4y^2 + 1 - 4xy + 2x - 4y = (x - 2y + 1)(x - 2y + 1) = (x - 2y + 1)^2

Passo 6

Comparando, vemos que a fatoração recupera justamente a expressão dada no enunciado.

Resposta

(a) x^2 + 4y^2 + 1 - 4xy + 2x - 4y
(b) (x - 2y + 1)^2, que coincide com a forma original.

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