Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Quadrado de um polinômio.
(m^2-m x+2)^2

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com o quadrado do polinômio
(m^2-m x+2)^2
ou seja, vamos primeiro expandir esse quadrado de um trinômio e depois refatorar o resultado para ver que voltamos à forma original.

Passo 2

Para expandir usamos a fórmula do quadrado de um soma de três termos. Se definirmos
A = m^2, B = -m x, C = 2,
então
(A + B + C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2AC + 2BC

Passo 3

Vamos calcular cada parcela:
A^2=(m^2)^2=m^4,
B^2=(-m x)^2=m^2x^2,
C^2=2^2=4,
2AB=2cdot m^2cdot(-m x)=-2m^3x,
2AC=2cdot m^2cdot2=4m^2,
2BC=2cdot(-m x)cdot2=-4m x

Passo 4

Somando tudo e ordenando por potências decrescentes em m e x, obtemos
(m^2-m x+2)^2 = m^4 -2m^3x + m^2x^2 + 4m^2 -4m x + 4

Passo 5

Agora fatoramos o polinômio expandido. Como ele veio de um quadrado de trinômio, reconhecemos que é um quadrado perfeito:
m^4 -2m^3x + m^2x^2 + 4m^2 -4m x + 4 = l(m^2-m x+2r)^2
Isso coincide exatamente com a expressão inicial.

Resposta

(a) ;m^4 -2m^3x + m^2x^2 + 4m^2 -4m x + 4
(b) ;(m^2-m x+2)^2, que é justamente a forma original.

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