Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Quadrado de um polinômio.
(x-y+2 z)^2

Passo 1

O enunciado pede (a) expandir o quadrado do polinômio (x - y + 2z) e (b) então fatorar de volta o resultado obtido para conferir que volta à forma original. O conteúdo usado é a identidade do quadrado da soma de três termos:
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)

Passo 2

Para expandir (x - y + 2z)^2, identificamos
a = x, b = -y, c = 2z
Aplicando a fórmula, calculamos cada termo:
a^2 = x^2, b^2 = (-y)^2 = y^2, c^2 = (2z)^2 = 4z^2,
2ab = 2,(x)(-y) = -2xy, 2ac = 2,(x)(2z) = 4xz, 2bc = 2,(-y)(2z) = -4yz
Somando tudo, obtemos
(x - y + 2z)^2 = x^2 + y^2 + 4z^2 - 2xy + 4xz - 4yz

Passo 3

Agora vamos fatorar o polinômio
x^2 + y^2 + 4z^2 - 2xy + 4xz - 4yz
Podemos agrupar como um quadrado perfeito em x:
x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2,
e os termos restantes se encaixam em
4xz - 4yz + 4z^2 = 2,(x - y),(2z) + (2z)^2
Juntando, isso é exatamente
(x - y)^2 + 2,(x - y),(2z) + (2z)^2 = l((x - y) + 2zr)^2 = (x - y + 2z)^2

Resposta

(a) ;x^2 + y^2 + 4z^2 - 2xy + 4xz - 4yz
(b) ;(x - y + 2z)^2, que coincide com a expressão dada.

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