Calcule as integrais de linha a seguir
\int_{\gamma} 2 x y z d s. \gamma é a curva parametrizada por \vec{r}(t)=e^{t} \vec{i}+e^{-t} \vec{j}+\sqrt{2} t \vec{k}, 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha de escalar
\int_{\gamma}2xyz\,ds
ao longo da curva parametrizada por
\displaystyle \vec r(t)=e^{t}\,\vec i+e^{-t}\,\vec j+\sqrt{2}\,t\,\vec k,
0\le t\le1.
O conteúdo usado é a definição de integral de linha de função escalar, em que
ds=\|\vec r\,'(t)\|\,dt.

Passo 2

Determinamos os componentes e sua derivada:
x(t)=e^t,\quad y(t)=e^{-t},\quad z(t)=\sqrt2\,t,
\vec r\,'(t)=(e^t,\,-e^{-t},\,\sqrt2).
O módulo é
\|\vec r\,'(t)\| =\sqrt{e^{2t}+e^{-2t}+2} =\sqrt{2\operatorname{cosh}(2t)+2} =2\operatorname{cosh}(t),
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ds=2\operatorname{cosh}(t)\,dt.

Passo 3

Expressamos o integrando em função de t:
2x(t)y(t)z(t) =2\,e^t e^{-t}(\sqrt2\,t) =2\sqrt2\,t.
Assim a integral fica
\int_0^1 2\sqrt2\,t\;\bigl(2\operatorname{cosh}(t)\bigr)\,dt =4\sqrt2\int_0^1 t\operatorname{cosh}(t)\,dt.

Passo 4

Calculamos \displaystyle\int_0^1 t\operatorname{cosh}(t)\,dt por partes, tomando
u=t, dv=\operatorname{cosh}(t)\,dt
\Rightarrow du=dt, v=\operatorname{sinh}(t).
Então
\int_0^1 t\operatorname{cosh}(t)\,dt =\bigl[t\operatorname{sinh}(t)\bigr]_0^1 -\int_0^1\operatorname{sinh}(t)\,dt =\operatorname{sinh}(1)-\bigl(\operatorname{cosh}(1)-1\bigr) =\operatorname{sinh}(1)-\operatorname{cosh}(1)+1.

Passo 5

Substituindo em 4\sqrt2\int_0^1 t\operatorname{cosh}(t)\,dt, obtemos
4\sqrt2\bigl(\operatorname{sinh}(1)-\operatorname{cosh}(1)+1\bigr).

Resposta

4\sqrt2\bigl(\operatorname{sinh}(1)-\operatorname{cosh}(1)+1\bigr).

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