Calcule as integrais de linha a seguir
\int_{\gamma}(y+2 z) d s. \gamma é a trajetória triangular formada pelos segmentos de (-1,0,0) a (0,1,0), (0,1,0) a (0,0,1) e (0,0,1) a (-1,0,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma}(y+2z)\,ds
onde \gamma é o polígono fechado de vértices (-1,0,0)\to(0,1,0)\to(0,0,1)\to(-1,0,0).
O conteúdo envolvido é integral de linha em função escalar, usando parametrização dos arcos e o diferencial de comprimento \,ds=|\mathbf r'(t)|\,dt.

Passo 2

Parametrizamos o primeiro segmento de A=(-1,0,0) a B=(0,1,0) por
\mathbf r_1(t)=(-1+t,\;t,\;0),\quad t\in[0,1].
Então
\mathbf r_1'(t)=(1,1,0),\quad|\mathbf r_1'(t)|=\sqrt{2},\quad y(t)=t,\;z(t)=0.
A integral sobre esse trecho é
\int_0^1\bigl(y+2z\bigr)\,|\mathbf r_1'|\,dt =\int_0^1 t\sqrt{2}\,dt =\sqrt{2}\,\frac{1}{2} =\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 3

Parametrizamos o segundo segmento de B=(0,1,0) a C=(0,0,1) por
\mathbf r_2(t)=(0,\;1-t,\;t),\quad t\in[0,1].
Dessa forma
\mathbf r_2'(t)=(0,-1,1),\quad|\mathbf r_2'(t)|=\sqrt{2},\quad y(t)=1-t,\;z(t)=t.
Logo a integral neste trecho é
\int_0^1\bigl((1-t)+2t\bigr)\sqrt{2}\,dt =\sqrt{2}\int_0^1(1+t)\,dt =\sqrt{2}\,\frac{3}{2} =\frac{3\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Parametrizamos o terceiro segmento de C=(0,0,1) de volta a A=(-1,0,0) por
\mathbf r_3(t)=(-t,\;0,\;1-t),\quad t\in[0,1].
Então
\mathbf r_3'(t)=(-1,0,-1),\quad|\mathbf r_3'(t)|=\sqrt{2},\quad y(t)=0,\;z(t)=1-t.
A integral fica
\int_0^1\bigl(0+2(1-t)\bigr)\sqrt{2}\,dt =2\sqrt{2}\int_0^1(1-t)\,dt =2\sqrt{2}\,\frac{1}{2} =\sqrt{2}.

Passo 5

Somando as contribuições dos três segmentos:
\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2} =\bigl(\tfrac12+\tfrac32+1\bigr)\sqrt{2} =3\sqrt{2}.

Resposta

3\sqrt{2}

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