Calcule as integrais de linha a seguir
\int_{\gamma} y d s. \gamma é a curva parametrizada por \vec{r}(t)=t \vec{i}+t^{3} \vec{j},-1 \leq t \leq 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma} y\,ds
onde \gamma é dada por \vec r(t)=t\,\vec i + t^3\,\vec j, com t variando de -1 a 0. O conteúdo aqui é integral de linha em termos de comprimento de arco, então precisamos parametrizar y e ds em função de t.

Passo 2

Primeiro calculamos ds. Temos
\frac{d\vec r}{dt}=\langle 1,\;3t^2\rangle
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ds=\biggl\|\frac{d\vec r}{dt}\biggr\|\,dt =\sqrt{1+(3t^2)^2}\,dt =\sqrt{1+9t^4}\,dt.
Como y=t^3, o integrando fica
y\,ds =t^3\sqrt{1+9t^4}\,dt.

Passo 3

Para calcular
\int_{-1}^{0}t^3\sqrt{1+9t^4}\,dt
fazemos a substituição
u=1+9t^4,\quad du=36\,t^3\,dt\quad\Rightarrow\quad t^3\,dt=\frac{du}{36}.
Quando t=-1, u=1+9\cdot1=10. Quando t=0, u=1. A integral vira
\frac1{36}\int_{u=10}^{u=1}u^{1/2}\,du =\frac1{36}\Bigl[\tfrac{2}{3}u^{3/2}\Bigr]_{10}^{1} =\frac{1}{54}\bigl(1^{3/2}-10^{3/2}\bigr) =\frac{1-10\sqrt{10}}{54}.

Resposta

\int_{\gamma}y\,ds=\frac{1-10\sqrt{10}}{54}.

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