Nos exercícios a seguir calcule \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \vec{r} onde \gamma é a curva parametrizada por \vec{r}(t).
\vec{F}=y \vec{i}+x y \vec{j}+z^{3} \vec{k} , \vec{r}=\cos t \vec{i}+\sin t \vec{j}+2 t \vec{k}, 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=y\,\vec{i}+xy\,\vec{j}+z^3\,\vec{k}
ao longo da curva \gamma dada por
\vec{r}(t)=(\cos t,\;\sin t,\;2t), 0\le t\le\frac{\pi}{2}.
O conteúdo é “integrais de linha de campos vetoriais” usando parametrização: precisamos achar \vec r'(t), avaliar \vec F em \vec r(t), fazer o produto escalar e integrar de 0 a \tfrac{\pi}{2}.

Passo 2

Calcular a derivada da parametrização:
\vec r'(t)=(-\sin t,\;\cos t,\;2).

Passo 3

Avaliar o campo em \vec r(t):
\vec F(\vec r(t)) =\bigl(\sin t,\;\cos t\sin t,\;(2t)^3\bigr) =(\sin t,\;\cos t\sin t,\;8t^3).

Passo 4

Formar o integrando fazendo o produto escalar
\vec F(\vec r(t))\cdot\vec r'(t) =\sin t\cdot(-\sin t)+\cos t\sin t\cdot\cos t+8t^3\cdot2 =-\sin^2t+\cos^2t\,\sin t+16\,t^3.

Passo 5

Integrar termo a termo de t=0 a t=\tfrac{\pi}{2}:
\int_{0}^{\pi/2}-\sin^2t\,dt =-\frac{\pi}{4},
\int_{0}^{\pi/2}\cos^2t\,\sin t\,dt \quad(\text{faça }u=\cos t) =\frac{1}{3},ç
\int_{0}^{\pi/2}16\,t^3\,dt =4\,t^4\Big|_{0}^{\pi/2} =\frac{\pi^4}{4}.

Passo 6

Somando os três resultados:
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r =-\frac{\pi}{4}+\frac{1}{3}+\frac{\pi^4}{4} =\frac{\pi^4}{4}-\frac{\pi}{4}+\frac{1}{3}.

Resposta

\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r =\frac{\pi^4}{4}-\frac{\pi}{4}+\frac{1}{3}.

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