Nos exercícios a seguir calcule \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \vec{r} onde \gamma é a curva parametrizada por \vec{r}(t).
\vec{F}=z \vec{i}-y \vec{j}-x \vec{k} , \vec{r}(t)=5 \vec{i}-\sin t \vec{j}-\cos t \vec{k}, 0 \leq t \leq \frac{\pi}{4}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r
onde
\vec F(x,y,z)=z\,\vec i - y\,\vec j - x\,\vec k, \qquad \vec r(t)=5\,\vec i -\sin t\,\vec j -\cos t\,\vec k, \quad 0\le t\le \frac{\pi}{4}.
O método consiste em parametrizar a integral como
\int_{0}^{\pi/4}\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr)\cdot \vec r\,'(t)\,dt.

Passo 2

Calcular a derivada da parametrização:
\vec r\,'(t) =\frac{d}{dt}\bigl(5,\,-\sin t,\,-\cos t\bigr) =(0,\,-\cos t,\;\sin t).

Passo 3

Expressar \vec F ao longo da curva, ou seja \vec F\bigl(\vec r(t)\bigr).
Como x=5,\;y=-\sin t,\;z=-\cos t, temos
\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr) =\bigl(z,\,-y,\,-x\bigr) =\bigl(-\cos t,\;\sin t,\;-5\bigr).

Passo 4

Calcular o produto escalar
\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr)\cdot \vec r\,'(t) =(-\cos t,\,\sin t,\,-5)\cdot(0,\,-\cos t,\,\sin t).
Isso dá
-\cos t\cdot0 \;+\;\sin t\cdot(-\cos t)\;+\;(-5)\cdot\sin t =-\sin t\cos t \;-\;5\sin t =-\sin t\,(\cos t+5).

Passo 5

A integral de linha se transforma em
\int_{0}^{\pi/4}\!\bigl[-\sin t\,(\cos t+5)\bigr]\,dt =-\int_{0}^{\pi/4}\sin t\cos t\,dt\;-\;5\int_{0}^{\pi/4}\sin t\,dt.

Passo 6

Calcular cada parte separadamente.
Para a primeira parte, use u=\sin t\Rightarrow du=\cos t\,dt:
-\int_{0}^{\pi/4}\sin t\cos t\,dt =-\int_{u(0)}^{u(\pi/4)}u\,du =\Bigl[\tfrac{u^2}{2}\Bigr]_{0}^{\sin(\pi/4)} =-\frac{(\tfrac{\sqrt2}{2})^2}{2} =-\frac{1/2}{2} =-\frac{1}{4}.
Para a segunda parte,
-5\int_{0}^{\pi/4}\sin t\,dt =-5\bigl[-\cos t\bigr]_{0}^{\pi/4} =5\bigl(\cos\tfrac{\pi}{4}-\cos0\bigr) =5\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}-1\Bigr) =\frac{5\sqrt2}{2}-5.

Passo 7

Somando os resultados:
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r =-\frac{1}{4}+\Bigl(\frac{5\sqrt2}{2}-5\Bigr) =\frac{5\sqrt2}{2}-5-\frac{1}{4} =\frac{10\sqrt2-21}{4}.

Resposta

\frac{10\sqrt2-21}{4}

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