Escrevendo em ordem crescente de valores as três raízes da equação 3 x^3-10 x^2-27 x+10=0, verifica-se que a soma das duas menores é -53 e o produto das duas maiores é 53.
Relativamente às raízes dessa equação, é verdade que
d) duas não são inteiras.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as raízes da equação 3x^3 - 10x^2 -27x + 10 = 0, ordená-las em ordem crescente e depois verificar a afirmação de que duas delas não são inteiras. Vamos usar o Teorema da Raiz Racional para achar raízes possíveis, dividir o polinômio e resolver a quadrática resultante.

Passo 2

Pelos possíveis divisores de 10 sobre divisores de 3, testamos raízes racionais. Observamos que, ao substituir x=5 em
3,(5)^3 - 10,(5)^2 -27,(5) + 10 = 375 - 250 - 135 + 10 = 0,
logo x=5 é raiz.

Passo 3

Dividimos o polinômio original por x - 5 usando divisão sintética:
Coeficientes: 3,,-10,,-27,,10 com raiz 5 dão quociente
3x^2 + 5x - 2

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática
3x^2 + 5x - 2 = 0
pela fórmula de Bhaskara:
x = -5 pm raiz5^2 - 4cdot3cdot(-2)2cdot3 = -5 pm raiz25 + 246 = -5 pm 76
Isso fornece as raízes
x = -5 + 76 = 26 = 13, x = -5 - 76 = -126 = -2

Passo 5

As três raízes em ordem crescente são
-2,;13,;5
Confirma-se que a soma das duas menores é
-2 + tfrac13 = -tfrac53,
e o produto das duas maiores é
tfrac13cdot 5 = tfrac53,
coerente com o enunciado.

Passo 6

Das três raízes, -2 e 5 são inteiras, e tfrac13 é a única não inteira. Portanto, ao contrário da afirmação “duas não são inteiras”, apenas uma não é inteira.

Resposta

A afirmação é falsa.

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