Exercício 19. (Apostol, capítulo 8.22, exercícios 3, 8 e 10)
Seja
e
. Logo, se
, então calcule
e
em função de
e
.
Seja
Passo 1
O enunciado nos dá uma função
de três variáveis e define as variáveis
como funções de dois parâmetros
e
, ou seja
e em seguida compõe tudo em
O conteúdo aqui é aplicação da regra da cadeia para derivadas parciais em composição de funções.
Passo 2
Para encontrar
, vamos imaginar que
fica fixo e só
varia. A variação de
em relação a
acontece através de cada uma das variáveis intermediárias
. Pela regra da cadeia temos que multiplicar a derivada de
em cada direção pela derivada dessa direção em relação a
.
Logo,
Logo,
Passo 3
De modo análogo, para
mantemos
fixo e aplicamos novamente a regra da cadeia, agora multiplicando as derivadas de
pelas derivadas das variáveis intermediárias em relação a
.
Assim obtemos
Assim obtemos