Exercício 19. (Apostol, capítulo 8.22, exercícios 3, 8 e 10)
Seja u=f(x, y, z), x=X(s, t), y=Y(s, t) e z=Z(s, t). Logo, se F(s, t)=f(X(s, t), Y(s, t), Z(s, t)), então calcule partial Fpartial t e partial Fpartial s em função de partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z, partial Xpartial t, partial Xpartial s, partial Ypartial t, partial Ypartial s, partial Zpartial t e partial Zpartial s.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função u = f(x,y,z) de três variáveis e define as variáveis x,y,z como funções de dois parâmetros s e t, ou seja
x = X(s,t), y = Y(s,t), z = Z(s,t),
e em seguida compõe tudo em
F(s,t) = f!l(X(s,t),,Y(s,t),,Z(s,t)r)
O conteúdo aqui é aplicação da regra da cadeia para derivadas parciais em composição de funções.

Passo 2

Para encontrar partial Fpartial t, vamos imaginar que s fica fixo e só t varia. A variação de F em relação a t acontece através de cada uma das variáveis intermediárias x,y,z. Pela regra da cadeia temos que multiplicar a derivada de f em cada direção pela derivada dessa direção em relação a t.
Logo,
partial Fpartial t = partial fpartial xl(X,Y,Zr),partial Xpartial t + partial fpartial yl(X,Y,Zr),partial Ypartial t + partial fpartial zl(X,Y,Zr),partial Zpartial t

Passo 3

De modo análogo, para partial Fpartial s mantemos t fixo e aplicamos novamente a regra da cadeia, agora multiplicando as derivadas de f pelas derivadas das variáveis intermediárias em relação a s.
Assim obtemos
partial Fpartial s = partial fpartial xl(X,Y,Zr),partial Xpartial s + partial fpartial yl(X,Y,Zr),partial Ypartial s + partial fpartial zl(X,Y,Zr),partial Zpartial s

Resposta

partial Fpartial t = partial fpartial x(X,Y,Z),partial Xpartial t + partial fpartial y(X,Y,Z),partial Ypartial t + partial fpartial z(X,Y,Z),partial Zpartial t,
partial Fpartial s = partial fpartial x(X,Y,Z),partial Xpartial s + partial fpartial y(X,Y,Z),partial Ypartial s + partial fpartial z(X,Y,Z),partial Zpartial s

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