Encontre uma solução explicita para o problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
Informações relevantes que temos:
- A variável independente é
e a incógnita é a função . - O símbolo
aparece na equação mas não depende de ; trataremos como um parâmetro constante (o enunciado não indica que varia). - A condição inicial é
. - A equação pode ser rearranjada para isolar
em função de e , possibilitando separar variáveis.
Passo 2
Vamos manipular a equação para deixá-la no formato conveniente para separação de variáveis. Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Podemos escrever isso como
Aqui usei álgebra elementar: multipliquei em cruz e reordenei termos para agrupar tudo com
de um lado e
do outro — esse é o passo padrão para equações separáveis.
Passo 3
Agora vamos integrar os dois lados em relação às suas variáveis:
No lado esquerdo escrevemos
. As integrais são básicas:
No lado direito
é constante (em relação a
), logo
onde
é constante de integração. Portanto obtemos a solução implícita
Passo 4
Aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
na expressão implícita:
Como
, temos
. Assim
Passo 5
Colocando
de volta na solução implícita obtemos
Para simplificar, chame o membro da direita de
:
Então a relação é
Passo 6
Queremos uma solução explícita
. Para isso isolamos
:
Exponenciando ambos os lados (lembrando que, pela condição inicial,
, então podemos tomar
localmente e eliminar as barras de valor absoluto):
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora elevamos ao quadrado para obter uma forma adequada ao uso da função
(função de Lambert):
Defina
. Então temos
Por definição da função de Lambert
, a solução de
é
. Assim
Voltando a
,
Escolhemos a raiz positiva porque
e a solução contínua que satisfaz a condição inicial permanece positiva em uma vizinhança de
. Também usamos a rama principal
do
, pois o argumento
dá
(compatível com
).
Passo 7
Agora substituímos
explicitamente e simplificamos
. Lembre que
Então
Portanto a solução explícita final é
Verificação rápida: em
o argumento de
é
, e
, logo
, que satisfaz a condição inicial.