Encontre uma solução explicita para o problema de valor inicial dado.
\frac{1}{\theta} \frac{d y}{d x}=\frac{y \sin (\theta)}{y^{2}+1}, \quad y(\pi)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
\frac{1}{\theta}\frac{dy}{dx}=\frac{y\sin(\theta)}{y^{2}+1},\qquad y(\pi)=1.
Informações relevantes que temos:
  • A variável independente é x e a incógnita é a função y(x).
  • O símbolo \theta aparece na equação mas não depende de x; trataremos \theta como um parâmetro constante (o enunciado não indica que \theta varia).
  • A condição inicial é y(\pi)=1.
  • A equação pode ser rearranjada para isolar \dfrac{dy}{dx} em função de x e y, possibilitando separar variáveis.

Passo 2

Vamos manipular a equação para deixá-la no formato conveniente para separação de variáveis. Multiplicando ambos os lados por \theta, obtemos
\frac{dy}{dx}=\theta\,\frac{y\sin(\theta)}{y^{2}+1}.
Podemos escrever isso como
\frac{y^{2}+1}{y}\,dy=\theta\sin(\theta)\,dx.
Aqui usei álgebra elementar: multipliquei em cruz e reordenei termos para agrupar tudo com dy de um lado e dx do outro — esse é o passo padrão para equações separáveis.

Passo 3

Agora vamos integrar os dois lados em relação às suas variáveis:
\int \frac{y^{2}+1}{y}\,dy=\int \theta\sin(\theta)\,dx.
No lado esquerdo escrevemos \dfrac{y^{2}+1}{y}=y+\dfrac{1}{y}. As integrais são básicas:
\int y\,dy=\frac{y^{2}}{2},\qquad \int \frac{1}{y}\,dy=\ln|y|.
No lado direito \theta\sin(\theta) é constante (em relação a x), logo
\int \theta\sin(\theta)\,dx=\theta\sin(\theta)\,x + C,
onde C é constante de integração. Portanto obtemos a solução implícita
\frac{y^{2}}{2}+\ln|y|=\theta\sin(\theta)\,x + C.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(\pi)=1 para determinar C. Substituindo x=\pi e y=1 na expressão implícita:
\frac{1^{2}}{2}+\ln|1|=\theta\sin(\theta)\,\pi + C.
Como \ln 1=0, temos \tfrac{1}{2}=\theta\sin(\theta)\,\pi + C. Assim
C=\frac{1}{2}-\theta\sin(\theta)\,\pi.

Passo 5

Colocando C de volta na solução implícita obtemos
\frac{y^{2}}{2}+\ln|y|=\theta\sin(\theta)\,x + \frac{1}{2}-\theta\sin(\theta)\,\pi.
Para simplificar, chame o membro da direita de A(x):
A(x)=\theta\sin(\theta)\,x + \frac{1}{2}-\theta\sin(\theta)\,\pi.
Então a relação é
\frac{y^{2}}{2}+\ln|y|=A(x).

Passo 6

Queremos uma solução explícita y=y(x). Para isso isolamos \ln|y|:
\ln|y|=A(x)-\frac{y^{2}}{2}.
Exponenciando ambos os lados (lembrando que, pela condição inicial, y(\pi)=1>0, então podemos tomar y>0 localmente e eliminar as barras de valor absoluto):
y=\exp\!\bigg(A(x)-\frac{y^{2}}{2}\bigg).
Multiplicando ambos os lados por \exp\!\big(\tfrac{y^{2}}{2}\big):
y\exp\!\bigg(\frac{y^{2}}{2}\bigg)=\exp\big(A(x)\big).
Agora elevamos ao quadrado para obter uma forma adequada ao uso da função W (função de Lambert):
y^{2}\exp\!\big(y^{2}\big)=\exp\!\big(2A(x)\big).
Defina u=y^{2}. Então temos
u\,e^{u}=e^{2A(x)}.
Por definição da função de Lambert W, a solução de u e^{u}=z é u=W(z). Assim
u=W\big(e^{2A(x)}\big).
Voltando a y,
y(x)=\sqrt{W\big(e^{2A(x)}\big)}.
Escolhemos a raiz positiva porque y(\pi)=1>0 e a solução contínua que satisfaz a condição inicial permanece positiva em uma vizinhança de x=\pi. Também usamos a rama principal W_{0} do W, pois o argumento e^{2A(\pi)}=e^{1} W(e)=1 (compatível com y(\pi)=1).

Passo 7

Agora substituímos A(x) explicitamente e simplificamos e^{2A(x)}. Lembre que
2A(x)=2\theta\sin(\theta)(x-\pi)+1.
Então
e^{2A(x)}=e^{1+2\theta\sin(\theta)(x-\pi)}.
Portanto a solução explícita final é
y(x)=\sqrt{\,W\!\big(e^{1+2\theta\sin(\theta)(x-\pi)}\big)\,}.
Verificação rápida: em x=\pi o argumento de W é e^{1}, e W(e)=1, logo y(\pi)=\sqrt{1}=1, que satisfaz a condição inicial.

Resposta

y(x)=\sqrt{\,W\!\big(e^{1+2\theta\sin(\theta)(x-\pi)}\big)\,}

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