Calcule as integrais:
(1,5 \mathrm{pt}) \int \frac{d x}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{x^{2}-1}
O conteúdo principal aqui é usar decomposição em frações parciais, pois o denominador x^{2}-1 se fatora em dois fatores lineares.

Passo 2

Fatoramos o denominador e propomos a decomposição em frações parciais:
x^{2}-1 = (x-1)(x+1)
\frac{1}{x^{2}-1} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x+1), obtemos
1 = A(x+1) + B(x-1).
Expandindo dá
1 = (A+B)\,x + (A - B).
Comparando coeficientes resulta o sistema
\begin{cases} A + B = 0,\\\ A - B = 1, \end{cases}
cuja solução é
A = \tfrac12, \quad B = -\tfrac12.

Passo 4

Substituindo na integral e separando termos:
\int \frac{dx}{x^{2}-1} = \int \Bigl(\tfrac12\,\frac{1}{x-1} - \tfrac12\,\frac{1}{x+1}\Bigr)\,dx = \tfrac12 \int \frac{dx}{x-1} - \tfrac12 \int \frac{dx}{x+1}.
Cada pedaço é do tipo \int \frac{dx}{x-a} = \ln\lvert x-a\rvert + C, logo
\int \frac{dx}{x^{2}-1} = \tfrac12 \ln\lvert x-1\rvert - \tfrac12 \ln\lvert x+1\rvert + C.

Passo 5

Para simplificar, juntamos os logaritmos:
\tfrac12 \ln\lvert x-1\rvert - \tfrac12 \ln\lvert x+1\rvert = \tfrac12 \ln\Bigl|\frac{x-1}{x+1}\Bigr|.

Resposta

\frac12 \ln\Bigl|\frac{x-1}{x+1}\Bigr| + C

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