Calcule as integrais:
(1 pt) \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{(\operatorname{arctg} x)^{3}}}{1+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{\bigl(\arctan x\bigr)^{3}}}{1+x^{2}}\,dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição, usando a derivada de \arctan x, que satisfaz
\frac{d}{dx}\bigl(\arctan x\bigr)=\frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = \arctan x,
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dt = \frac{1}{1+x^{2}}\,dx
e portanto
\frac{dx}{1+x^{2}} = dt.

Passo 3

Precisamos também trocar os limites. Quando x=0, tem-se t=\arctan0=0. Quando x=1, tem-se t=\arctan1=\pi/4. Assim a integral vira
\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{(\arctan x)^{3}}}{1+x^{2}}\,dx =\int_{0}^{\pi/4} \sqrt{t^{3}}\,dt =\int_{0}^{\pi/4} t^{3/2}\,dt.

Passo 4

Agora é só integrar a potência de t. Usamos
\int t^{3/2}\,dt = \frac{t^{5/2}}{\tfrac{5}{2}} = \frac{2}{5}\,t^{5/2}.

Passo 5

Aplicando os limites de 0 a \pi/4, obtemos
\left.\frac{2}{5}\,t^{5/2}\right|_{0}^{\pi/4} =\frac{2}{5}\Bigl(\frac{\pi}{4}\Bigr)^{5/2} =\frac{2}{5}\,\frac{\pi^{5/2}}{4^{5/2}} =\frac{2}{5}\,\frac{\pi^{5/2}}{32} =\frac{\pi^{5/2}}{80}.

Resposta

\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{\bigl(\arctan x\bigr)^{3}}}{1+x^{2}}\,dx =\frac{\pi^{5/2}}{80}.

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