Questão 3 (2 pts) Calcule \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x^{3}} \,dx.
O conteúdo envolvido é a técnica de substituição em integrais impróprias (e, indiretamente, a função Gamma). Vamos usar a substituição adequada para simplificar o expoente.

Passo 2

Fazendo a substituição
t = x^{3} \quad\Longrightarrow\quad dt = 3\,x^{2}dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}dx = \frac{dt}{3}.
Quando x varia de 0 a \infty, t também varia de 0 a \infty. Portanto, a integral fica
\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x^{3}} \,dx = \int_{0}^{\infty} e^{-t}\,\frac{dt}{3} = \frac{1}{3}\,\int_{0}^{\infty} e^{-t}\,dt.

Passo 3

Reconhecemos que
\int_{0}^{\infty} e^{-t}\,dt = 1
pois é a integral da densidade de uma distribuição exponencial padrão. Logo,
\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x^{3}} \,dx = \frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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