Calcule as integrais:
(1 \mathrm{pt}) \int \frac{e^{\sqrt{t}}}{\sqrt{t}} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{e^{\sqrt{t}}}{\sqrt{t}}\,dt.
O conteúdo principal aqui é técnica de substituição em integrais para lidar com expressões que envolvem raiz quadrada.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sqrt{t}.
Então t = u^2 e diferenciando ambos os lados obtemos
dt = 2u\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
\int \frac{e^{\sqrt{t}}}{\sqrt{t}}\,dt = \int \frac{e^{u}}{u}\;(2u\,du) = 2 \int e^{u}\,du.

Passo 4

Agora integramos facilmente:
2 \int e^{u}\,du = 2\,e^{u} + C.

Passo 5

Voltando à variável original t, onde u = \sqrt{t}, concluímos que a antiderivada é
2\,e^{\sqrt{t}} + C.

Resposta

\int \frac{e^{\sqrt{t}}}{\sqrt{t}}\,dt = 2\,e^{\sqrt{t}} + C.

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