Obter a solução geral da EDO
y" -4 y^{\prime}-4 y=t^{2}-2 t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y'' - 4y' - 4y = t^2 - 2t.
Trata-se de uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução da parte homogênea e depois uma solução particular via coeficientes a determinar.

Passo 2

Para a parte homogênea
y'' - 4y' - 4y = 0
montamos a equação característica
r^2 - 4r - 4 = 0.
As raízes são
r = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}.
Logo a solução homogênea é
y_h(t) = C_1\,e^{(2 + 2\sqrt{2})t} + C_2\,e^{(2 - 2\sqrt{2})t}.

Passo 3

Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 2, tentamos
y_p(t) = a\,t^2 + b\,t + c.
Então
y_p' = 2a\,t + b, \qquad y_p'' = 2a.
Substituindo em y'' - 4y' - 4y\), obtemos \[2a - 4(2a\,t + b) - 4(a\,t^2 + b\,t + c) = -4a\,t^2 + (-8a - 4b)\,t + (2a - 4b - 4c).
Para ser igual a t^2 - 2t, igualamos coeficientes:
\begin{cases} -4a = 1,\\\\ -8a - 4b = -2,\\\\ 2a - 4b - 4c = 0. \end{cases}
Dessa forma a = -\tfrac14\], \(b = 1 e c = -\tfrac{9}{8}. Assim
y_p(t) = -\frac{1}{4}t^2 + t - \frac{9}{8}.

Passo 4

A solução geral é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1\,e^{(2 + 2\sqrt{2})t} + C_2\,e^{(2 - 2\sqrt{2})t} - \frac{1}{4}t^2 + t - \frac{9}{8}.

Resposta

y(t) = C_1\,e^{(2 + 2\sqrt{2})t} + C_2\,e^{(2 - 2\sqrt{2})t} - \frac{1}{4}t^2 + t - \frac{9}{8}.

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