Calcule as integrais.
\int_{1}^{2} \int_{1}^{3} 3 x^{2} y^{3} d y d x).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Os limites da integração interna (em
) são de a . - Os limites da integração externa (em
) são de a . - A ordem de integração é primeiro em
(porque o diferencial interno é ) e depois em .
Passo 2
Vamos calcular a integral interna
Observação importante: ao integrar em relação a
, a variável
é tratada como constante. Então podemos tirar
para fora da integral:
Agora usamos a regra do poder (power rule) para integrais indefinidas: para todo
,
Aqui
, logo
Aplicando como integral definida de
a
:
Multiplicando pelo fator
:
Passo 3
Agora substituímos o resultado da integral interna na integral externa e calculamos
Tiramos a constante
para fora:
Novamente usamos a regra do poder: com
,
Avaliaremos de
a
:
Multiplicando pela constante
:
Resposta
140