Calcule as integrais.
1,0 \mathrm{pt} \int_{1}^{2} \int_{1}^{3} 3 x^{2} y^{3} d y d x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{1}^{2}\int_{1}^{3} 3x^{2}y^{3}\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é 3x^{2}y^{3}.
  • Os limites da integração interna (em y) são de 1 a 3.
  • Os limites da integração externa (em x) são de 1 a 2.
  • A ordem de integração é primeiro em y (porque o diferencial interno é dy) e depois em x.

Passo 2

Vamos calcular a integral interna
\int_{1}^{3} 3x^{2}y^{3}\,dy.
Observação importante: ao integrar em relação a y, a variável x é tratada como constante. Então podemos tirar 3x^{2} para fora da integral:
\int_{1}^{3} 3x^{2}y^{3}\,dy = 3x^{2}\int_{1}^{3} y^{3}\,dy.
Agora usamos a regra do poder (power rule) para integrais indefinidas: para todo n\neq -1,
\int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1}.
Aqui n=3, logo
\int y^{3}\,dy = \frac{y^{4}}{4}.
Aplicando como integral definida de 1 a 3:
\int_{1}^{3} y^{3}\,dy = \left.\frac{y^{4}}{4}\right|_{1}^{3} = \frac{3^{4}-1^{4}}{4} = \frac{81-1}{4} = \frac{80}{4} = 20.
Multiplicando pelo fator 3x^{2}:
\int_{1}^{3} 3x^{2}y^{3}\,dy = 3x^{2}\cdot 20 = 60x^{2}.

Passo 3

Agora substituímos o resultado da integral interna na integral externa e calculamos
\int_{1}^{2} 60x^{2}\,dx.
Tiramos a constante 60 para fora:
60\int_{1}^{2} x^{2}\,dx.
Novamente usamos a regra do poder: com n=2,
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Avaliaremos de 1 a 2:
\int_{1}^{2} x^{2}\,dx = \left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{1}^{2} = \frac{2^{3}-1^{3}}{3} = \frac{8-1}{3} = \frac{7}{3}.
Multiplicando pela constante 60:
60\cdot \frac{7}{3} = \frac{60}{3}\cdot 7 = 20\cdot 7 = 140.

Resposta

140

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