Encontre uma solução explicita para o problema de valor inicial dado.
y^{\prime}=x^{3}(1-y), \quad y(0)=3

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma solução explícita para o problema de valor inicial dado por
y' = x^{3}(1-y),\qquad y(0)=3.
Informações fornecidas:
  • A equação diferencial é \;y' = x^{3}(1-y)\;.
  • A condição inicial é \;y(0)=3\;.
  • A tarefa é achar uma função y(x) que satisfaça a equação diferencial em torno de x=0 e a condição inicial.

Passo 2

Vamos colocar a equação numa forma padrão de equação linear de primeira ordem. Isso significa escrever a equação como
y' + P(x)\,y = Q(x).
Começando de \;y' = x^{3}(1-y)\;, desenvolvo o lado direito:
y' = x^{3} - x^{3}y.
Agora passo todos os termos com y para o lado esquerdo:
y' + x^{3}y = x^{3}.
Aqui \;P(x)=x^{3}\; e \;Q(x)=x^{3}. Explico: a ideia de colocar nesta forma é porque existe uma técnica simples chamada fator integrante (integrating factor) que resolve esse tipo de equação linear.

Passo 3

O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x)=\exp\!\biggl(\int P(x)\,dx\biggr).
Substituindo \;P(x)=x^{3}\; temos
\mu(x)=\exp\!\biggl(\int x^{3}\,dx\biggr)=\exp\!\biggl(\frac{x^{4}}{4}\biggr).
Explicação didática: \mu(x) é uma função que, quando multiplicamos a equação original por ela, transforma o lado esquerdo em uma derivada exata do produto \mu(x)y(x). Isso facilita muito a integração.

Passo 4

Multiplico a equação padrão por \mu(x):
\exp\!\biggl(\frac{x^{4}}{4}\biggr)\,y' + x^{3}\exp\!\biggl(\frac{x^{4}}{4}\biggr)\,y = x^{3}\exp\!\biggl(\frac{x^{4}}{4}\biggr).
Pelo produto notamos que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \mu(x)y(x), isto é, pela regra do produto:
\biggl(\exp\!\biggl(\frac{x^{4}}{4}\biggr)\,y\biggr)' = \exp\!\biggl(\frac{x^{4}}{4}\biggr)\,y' + \biggl(\frac{d}{dx}\exp\!\biggl(\frac{x^{4}}{4}\biggr)\biggr)\,y.
E \dfrac{d}{dx}\exp\!\bigl(\frac{x^{4}}{4}\bigr)=x^{3}\exp\!\bigl(\frac{x^{4}}{4}\bigr), por isso a igualdade acima corresponde ao lado esquerdo.

Passo 5

Agora integro ambos os lados em relação a x:
\int \biggl(\exp\!\biggl(\frac{x^{4}}{4}\biggr)\,y\biggr)'\,dx = \int x^{3}\exp\!\biggl(\frac{x^{4}}{4}\biggr)\,dx.
O lado esquerdo integra imediatamente para \exp\!\bigl(\frac{x^{4}}{4}\bigr)\,y. Para o lado direito, faço a substituição útil
u=\frac{x^{4}}{4}\quad\Rightarrow\quad du = x^{3}\,dx.
Assim
\int x^{3}\exp\!\biggl(\frac{x^{4}}{4}\biggr)\,dx = \int e^{u}\,du = e^{u} + C = \exp\!\biggl(\frac{x^{4}}{4}\biggr) + C,
onde C é constante de integração. Portanto obtemos a relação
\exp\!\biggl(\frac{x^{4}}{4}\biggr)\,y = \exp\!\biggl(\frac{x^{4}}{4}\biggr) + C.

Passo 6

Agora uso a condição inicial para determinar a constante C. Avaliando a relação em x=0:
\exp\!\biggl(\frac{0^{4}}{4}\biggr)\,y(0) = \exp\!\biggl(\frac{0^{4}}{4}\biggr) + C.
Como \exp(0)=1 e y(0)=3, temos
1\cdot 3 = 1 + C \quad\Rightarrow\quad C=2.
Tomei a relação integrada obtida no passo anterior e substitutei x=0 para achar C.

Resposta

y(x)=1+2\exp\!\biggl(-\frac{x^{4}}{4}\biggr)

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