Encontre uma solução explicita para o problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma solução explícita para o problema de valor inicial dado por
Informações fornecidas:
- A equação diferencial é
. - A condição inicial é
. - A tarefa é achar uma função
que satisfaça a equação diferencial em torno de e a condição inicial.
Passo 2
Vamos colocar a equação numa forma padrão de equação linear de primeira ordem. Isso significa escrever a equação como
Começando de
, desenvolvo o lado direito:
Agora passo todos os termos com
para o lado esquerdo:
Aqui
e
. Explico: a ideia de colocar nesta forma é porque existe uma técnica simples chamada fator integrante (integrating factor) que resolve esse tipo de equação linear.
Passo 3
O fator integrante
é dado por
Substituindo
temos
Explicação didática:
é uma função que, quando multiplicamos a equação original por ela, transforma o lado esquerdo em uma derivada exata do produto
. Isso facilita muito a integração.
Passo 4
Multiplico a equação padrão por
:
Pelo produto notamos que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, isto é, pela regra do produto:
E
, por isso a igualdade acima corresponde ao lado esquerdo.
Passo 5
Agora integro ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra imediatamente para
. Para o lado direito, faço a substituição útil
Assim
onde
é constante de integração. Portanto obtemos a relação
Passo 6
Agora uso a condição inicial para determinar a constante
. Avaliando a relação em
:
Como
e
, temos
Tomei a relação integrada obtida no passo anterior e substitutei
para achar
.