Calcule as integrais pelo método das Frações Parciais.
Caso 2
Caso 2
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações fornecidas e observações importantes do enunciado:
Passo 2
Idea básica da decomposição (explicação didática): quando temos uma fração racional própria cujo denominador é uma potência de um fator linear
, a forma geral da decomposição em frações parciais é a soma de frações com potências decrescentes desse fator. Ou seja, procuramos constantes
,
e
tais que
Explicação do porquê: cada termo tem denominador uma potência de
até a multiplicidade 3; isso garante que, após somar, podemos reconstruir qualquer numerador polinomial de grau inferior a 3.
Passo 3
Eliminar denominadores multiplicando ambos os lados por
. Fica:
Agora vamos expandir o lado direito e agrupar termos por potências de
. Primeiro expanda
:
Substituindo:
Expanda os produtos:
Agrupando coeficientes por
,
e termo constante:
Passo 4
Agora igualamos os coeficientes dos dois polinômios (coeficiente a coeficiente):
Para :
Para :
Para o termo constante:
Para
Para
Para o termo constante:
Substituindo
nas outras equações:
Portanto os coeficientes são
,
e
.
Passo 5
Escrevemos a decomposição encontrada:
Agora vamos integrar termo a termo. Uma observação técnica útil: para integrar potências de
é conveniente usar a substituição simples
Com isso, integrar
é o mesmo que integrar
.
Calculemos cada integral:
-
Explicação:, fórmula básica de integração. -
Use a regra das potências:para . Aqui , então
(Expliquei passo a passo: multiplicar pelo fator
, integrar
dá
, e simplificar.)
Passo 6
Somando os resultados dos três integrais e agrupando a constante de integração num único
, obtemos a primitiva:
Pequena verificação informal (opcional mas útil): derivando a expressão à direita deve retornar
. Se você derivar termo a termo usando a regra do quociente ou regra da cadeia para potências, verá que isso ocorre — assim temos confiança de que o resultado está correto.