Calcule as integrais pelo método das Frações Parciais.
Caso 2
\int \frac{x^{2}+1}{(x+1)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{x^{2}+1}{(x+1)^{3}}\,dx.
Informações fornecidas e observações importantes do enunciado:
\text{Denominador}=(x+1)^{3}\quad\text{(fator linear repetido de multiplicidade 3).}
\text{Numerador}=x^{2}+1\quad\text{(grau }2\text{)}.
\text{Denominador tem grau }3\text{, então a fração é própria (grau do numerador menor que do denominador).}ãçãéó

Passo 2

Idea básica da decomposição (explicação didática): quando temos uma fração racional própria cujo denominador é uma potência de um fator linear (x+1)^{3}, a forma geral da decomposição em frações parciais é a soma de frações com potências decrescentes desse fator. Ou seja, procuramos constantes A, B e C tais que
\frac{x^{2}+1}{(x+1)^{3}}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^{2}}+\frac{C}{(x+1)^{3}}.
Explicação do porquê: cada termo tem denominador uma potência de (x+1) até a multiplicidade 3; isso garante que, após somar, podemos reconstruir qualquer numerador polinomial de grau inferior a 3.

Passo 3

Eliminar denominadores multiplicando ambos os lados por (x+1)^{3}. Fica:
x^{2}+1 = A(x+1)^{2}+B(x+1)+C.
Agora vamos expandir o lado direito e agrupar termos por potências de x. Primeiro expanda (x+1)^{2}:
(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1.
Substituindo:
x^{2}+1 = A(x^{2}+2x+1)+B(x+1)+C.
Expanda os produtos:
x^{2}+1 = A x^{2} + 2A x + A + B x + B + C.
Agrupando coeficientes por x^{2}, x e termo constante:
x^{2}+1 = (A) x^{2} + (2A+B) x + (A+B+C).

Passo 4

Agora igualamos os coeficientes dos dois polinômios (coeficiente a coeficiente):
Para x^{2}: \;A = 1.
Para x: \;2A + B = 0.
Para o termo constante: \;A + B + C = 1.
Substituindo A=1 nas outras equações:
2\cdot 1 + B = 0 \quad\Rightarrow\quad B = -2.
1 + (-2) + C = 1 \quad\Rightarrow\quad -1 + C = 1 \quad\Rightarrow\quad C = 2.
Portanto os coeficientes são A=1, B=-2 e C=2.

Passo 5

Escrevemos a decomposição encontrada:
\frac{x^{2}+1}{(x+1)^{3}}=\frac{1}{x+1}-\frac{2}{(x+1)^{2}}+\frac{2}{(x+1)^{3}}.
Agora vamos integrar termo a termo. Uma observação técnica útil: para integrar potências de (x+1) é conveniente usar a substituição simples
u=x+1\quad\Rightarrow\quad du=dx.
Com isso, integrar (x+1)^{n} é o mesmo que integrar u^{n}.
Calculemos cada integral:
  1. \displaystyle \int \frac{1}{x+1}\,dx = \int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C = \ln|x+1| + C.
    Explicação: \int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C, fórmula básica de integração.
  2. \displaystyle \int -\frac{2}{(x+1)^{2}}\,dx = -2\int u^{-2}\,du.
    Use a regra das potências: \int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1. Aqui n=-2, então
-2\int u^{-2}\,du = -2\cdot\frac{u^{-1}}{-1} = 2u^{-1} = \frac{2}{x+1}.
(Expliquei passo a passo: multiplicar pelo fator -2, integrar u^{-2} u^{-1}/(-1), e simplificar.)
  1. \displaystyle \int \frac{2}{(x+1)^{3}}\,dx = 2\int u^{-3}\,du = 2\cdot\frac{u^{-2}}{-2} = -u^{-2} = -\frac{1}{(x+1)^{2}}.

Passo 6

Somando os resultados dos três integrais e agrupando a constante de integração num único C, obtemos a primitiva:
\int \frac{x^{2}+1}{(x+1)^{3}}\,dx = \ln|x+1| + \frac{2}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^{2}} + C.
Pequena verificação informal (opcional mas útil): derivando a expressão à direita deve retornar \dfrac{x^{2}+1}{(x+1)^{3}}. Se você derivar termo a termo usando a regra do quociente ou regra da cadeia para potências, verá que isso ocorre — assim temos confiança de que o resultado está correto.

Resposta

\displaystyle \ln|x+1|+\frac{2}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^{2}}+C

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